數(shù)學(xué)活動課上，老師組織數(shù)學(xué)小組的同學(xué)進(jìn)行以“三角形卡片拼接與變換”為主題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動．他們準(zhǔn)備若干個的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°，AD=2．
（1）如圖1，將一個與△ABD全等的△CDB沿較長的直角邊重合，拼成一個四邊形ABCD．
①求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
②連接AC交BD于點O，求△AOD的面積；
（2）在（1）的條件下，將一條直角邊與AC重合的等腰直角三角形卡片ACE（∠ACE=90°）與四邊形ABCD拼成如圖2所示的平面圖形，請求出點E到AB的距離；
（3）一個斜邊長度與AD相等的30°三角板ADE（∠E=90°，∠ADE=30°）如圖3擺放，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）△ADE旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△AD′E′．在旋轉(zhuǎn)過程中，直線D′E′所在的直線與直線BD，AB交于P，Q兩點，當(dāng)△BPQ為等腰三角形時，請直接寫出E′Q的長．
?
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）①證明見解析；②；
（2）5+；
（3）或2-．
3
（2）5+
3
（3）
3
3
3
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/12 8:0:8組卷：1409引用：1難度：0.1
相似題
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1．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當(dāng)AD與邊BC相交，點D與點F在直線AC的兩側(cè)時，BD與CF的數(shù)量關(guān)系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②證明你的結(jié)論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當(dāng)△ACE為直角三角形時，直接寫出CE的長度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
2．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關(guān)系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：881引用：1難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內(nèi)一點，F(xiàn)是正方形ABCD外一點，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5