設(shè)橢圓E：x22+y2=1，直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（m,0），直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（n,0），直線l1∥直線l2，且直線l1、l2分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若M，N分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，且直線l1⊥x軸，求四邊形ABCD的面積；
（Ⅱ）若直線l1的斜率存在且不為0，四邊形ABCD為平行四邊形，求證：m+n=0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷四邊形ABCD能否為矩形，說(shuō)明理由．
E
：
x
2
2
+
y
2
=
1
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）證明：由題可設(shè)，l1：x=ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得，（t2+2）y2+2mty+m2-2=0，
∴，且Δ=4m2t2-4（t2+2）（m2-2）＞0，即t2-m2+2＞0，
∴
=
=2，
同理可得，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴|AB|=|CD|，即m2=n2，
由m≠n，故m=-n，即m+n=0，即得證；
（Ⅲ）不能為矩形，理由如下：
點(diǎn)O到直線l1，直線l2的距離分別為，
由（Ⅱ）可知，m=-n，
∴點(diǎn)O到直線l1，直線l2的距離相等，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，原點(diǎn)O應(yīng)為平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，
假設(shè)平行四邊形ABCD為矩形，則|OA|=|OB|，
那么，則，
∴x1=x2，這是直線l1⊥x軸，這與直線l1的斜率存在矛盾，故假設(shè)不成立，即平行四邊形ABCD不為矩形．
2
（Ⅱ）證明：由題可設(shè)，l1：x=ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x = ty + m |
x 2 + 2 y 2 = 2 |
∴
y
1
+
y
2
=
-
2
mt
t
2
+
2
，
y
1
y
2
=
m
2
-
2
t
2
+
2
∴
|
AB
|
=
1
+
t
2
?
（
y
1
+
y
2
）
2
-
4
y
1
y
2
=
1
+
t
2
?
（
2
mt
t
2
+
2
）
2
-
4
?
m
2
-
2
t
2
+
2
=2
2
?
1
+
t
2
t
2
+
2
?
t
2
-
m
2
+
2
同理可得
|
CD
|
=
2
2
?
1
+
t
2
t
2
+
2
?
t
2
-
n
2
+
2
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴|AB|=|CD|，即m2=n2，
由m≠n，故m=-n，即m+n=0，即得證；
（Ⅲ）不能為矩形，理由如下：
點(diǎn)O到直線l1，直線l2的距離分別為
|
m
|
1
+
t
2
，
|
n
|
1
+
t
2
由（Ⅱ）可知，m=-n，
∴點(diǎn)O到直線l1，直線l2的距離相等，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，原點(diǎn)O應(yīng)為平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，
假設(shè)平行四邊形ABCD為矩形，則|OA|=|OB|，
那么
x
1
2
+
y
1
2
=
x
2
2
+
y
2
2
x
1
2
+
1
-
x
1
2
2
=
x
2
2
+
1
-
x
2
2
2
∴x1=x2，這是直線l1⊥x軸，這與直線l1的斜率存在矛盾，故假設(shè)不成立，即平行四邊形ABCD不為矩形．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：449引用：3難度：0.7
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+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
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