綜合實(shí)踐課上，劉老師介紹了四點(diǎn)共圓的判定定理：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓．在實(shí)際應(yīng)用中，如果運(yùn)用這個(gè)定理，往往可以讓復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，以下是小明同學(xué)對(duì)一道四邊形問題的分析，請(qǐng)幫助他補(bǔ)充完整．
特殊情況分析
（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，將射線PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ADC的度數(shù)，交直線BC于點(diǎn)Q．
小明的思考如下：
| 連接DQ， ∵AD∥CQ，∠ADC=∠DCQ=90°， ∴∠ACQ=∠DAC，（依據(jù)1） ∵∠DPQ=90°， ∴∠DPQ+∠DCQ=180°， ∴點(diǎn)D、P、Q、C共圓， ∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，（依據(jù)2） ∴∠PDQ=∠DQP， ∴DP=QP．（依據(jù)3） |
兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
，②依據(jù)2應(yīng)為
同弧所對(duì)的圓周角相等
同弧所對(duì)的圓周角相等
，③依據(jù)3應(yīng)為
等角對(duì)等邊
等角對(duì)等邊
；一般結(jié)論探究
（2）將圖1中的正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)僅以圖2的形式證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
結(jié)論拓展延伸
（3）若∠ADC=120°，AD=3，當(dāng)△PQC為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段PQ的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】四點(diǎn)共圓．
【答案】兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同弧所對(duì)的圓周角相等；等角對(duì)等邊
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/26 8:0:9組卷：322引用：4難度：0.2
相似題
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1．設(shè)有邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個(gè)面積最小的，并求出這兩個(gè)面積（須證明你的論斷）．
發(fā)布：2025/5/28 11:0:1組卷：126引用：1難度：0.7 -
2．定義：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，簡(jiǎn)稱“四點(diǎn)共圓”．我們學(xué)過(guò)了“圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”這一定理，它的逆命題“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓”是證明“四點(diǎn)共圓”的一種常用方法．除此之外，我們還經(jīng)常用“同旁張角相等”來(lái)證明“四點(diǎn)共圓”．如圖1，在線段AB同側(cè)有兩點(diǎn)C，D．連接AD，AC，BC，BD，如果
，那么A，B，C，D“四點(diǎn)共圓”∠C=∠D
（1）如圖2，已知四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，下列條件：①∠1=∠2；②∠2=∠4：③∠5=：④PA?PC=PB?PD．其中，能判定A，B，C，D“四點(diǎn)共圓”的條件有 ：∠ADC
（2）如圖3，直線y=x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，若A，B，C，D“四點(diǎn)共圓”，且，求四邊形ABCD的面積；∠ADC=105°
（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，且BD＜CD，連結(jié)AD，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F，連接AE，DE．
①求證：A，D，B，E“四點(diǎn)共圓”；
②若AB=2，AD?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值：若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．2發(fā)布：2025/6/12 1:0:1組卷：698引用：3難度：0.3 -
3．綜合與實(shí)踐
“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．
提出問題：
如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠ABC=∠ADC，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
探究展示：求證：點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°
．
（1）請(qǐng)完善探究展示．
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，則∠4的度數(shù)為 ．
拓展探究：
（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F，連接AB，DE．
①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；
②若AB=2，AD?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．2發(fā)布：2025/6/1 13:0:1組卷：764引用：2難度：0.3