綜合實(shí)踐課上,劉老師介紹了四點(diǎn)共圓的判定定理:若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)或一個外角等于其內(nèi)對角,那么這四點(diǎn)共圓.在實(shí)際應(yīng)用中,如果運(yùn)用這個定理,往往可以讓復(fù)雜的問題簡單化,以下是小明同學(xué)對一道四邊形問題的分析,請幫助他補(bǔ)充完整.
特殊情況分析
(1)如圖1,正方形ABCD中,點(diǎn)P為對角線AC上一個動點(diǎn),連接PD,將射線PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ADC的度數(shù),交直線BC于點(diǎn)Q.
小明的思考如下:
連接DQ, ∵AD∥CQ,∠ADC=∠DCQ=90°, ∴∠ACQ=∠DAC,(依據(jù)1) ∵∠DPQ=90°, ∴∠DPQ+∠DCQ=180°, ∴點(diǎn)D、P、Q、C共圓, ∴∠PDQ=∠PCQ,∠DQP=∠PCD,(依據(jù)2) ∴∠PDQ=∠DQP, ∴DP=QP.(依據(jù)3) |
兩直線平行,內(nèi)錯角相等
兩直線平行,內(nèi)錯角相等
,②依據(jù)2應(yīng)為
同弧所對的圓周角相等
同弧所對的圓周角相等
,③依據(jù)3應(yīng)為
等角對等邊
等角對等邊
;一般結(jié)論探究
(2)將圖1中的正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立,若成立,請僅以圖2的形式證明,若不成立,請說明理由;
結(jié)論拓展延伸
(3)若∠ADC=120°,AD=3,當(dāng)△PQC為直角三角形時(shí),請直接寫出線段PQ的長.

【考點(diǎn)】四點(diǎn)共圓.
【答案】兩直線平行,內(nèi)錯角相等;同弧所對的圓周角相等;等角對等邊
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布:2024/6/26 8:0:9組卷:314引用:4難度:0.2
相似題
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1.綜合與實(shí)踐
“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動,得出結(jié)論:對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓.該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究.
提出問題:
如圖1所示,在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B,D,連接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四點(diǎn)在同一個圓上.
探究展示:
如圖2所示,作經(jīng)過點(diǎn)A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一點(diǎn)E(不與A,C重合),連接AE,CE,則∠AEC+∠D=180°(依據(jù)1)
∵∠B=∠D
∴∠AEC+∠B=180°
∴點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個圓上(對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓)
∴點(diǎn)B,D在點(diǎn)A,C,E所確定的⊙O上(依據(jù)2)
∴點(diǎn)A,B,C,D四點(diǎn)在同一個圓上
反思?xì)w納:
(1)上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么?
依據(jù)1:;
依據(jù)2:.
(2)如圖3所示,在四邊形ABCD中,∠1=∠2,∠3=42°,則∠4的度數(shù)為 .
拓展探究:
(3)如圖4所示,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)D在BC上(不與BC的中點(diǎn)重合),連接AD.作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E,連接EB并延長交AD的延長線于F,連接AE,DE.求證:A,D,B,E四點(diǎn)共圓.發(fā)布:2024/7/21 8:0:9組卷:235引用:1難度:0.3 -
2.綜合與實(shí)踐:
“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動,得出結(jié)論:對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓.該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究.
提出問題:
如圖1所示,在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B,D,連接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四點(diǎn)在同一個圓上.
探究展示:
如圖2所示,作經(jīng)過點(diǎn)A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一點(diǎn)E(不與A,C重合),連接AE,CE,則∠AEC+∠D=180°,(依據(jù)1)
∵∠B=∠D,
∴∠AEC+∠B=180°,
∴點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個圓上,(對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓)
∴點(diǎn)B,D在點(diǎn)A,C,E所確定的⊙O上,(依據(jù)2)
∴點(diǎn)A,B,C,D四點(diǎn)在同一個圓上;
反思?xì)w納:①圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ);
②對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓;
③過不在同一直線上的三個點(diǎn)有且只有一個圓;
④經(jīng)過兩點(diǎn)的圓的圓心在這兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上;
依據(jù)1:;(從框內(nèi)選一個選項(xiàng),直接填序號)
依據(jù)2:.(從框內(nèi)選一個選項(xiàng),直接填序號)
(2)如圖3所示,在四邊形ABCD中,∠1=∠2=80°,∠3=42°,則∠4的度數(shù)為 .?
發(fā)布:2024/9/21 14:0:9組卷:273引用:1難度:0.4 -
3.請仔細(xì)閱讀以下材料:
定理一:一般地,如圖1,四邊形ABCD中,如果連接兩條對角線后形成的∠BAC=∠BDC,則A,B,C,D四點(diǎn)共圓.我們由定理可以進(jìn)一步得出結(jié)論:∠BDA=∠BCA,∠DBC=∠DAC,∠ACD=∠ABD.
定理二:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
溫馨提示:下面問題的關(guān)鍵地方或許能夠用到上述定理,如果用到,請直接運(yùn)用相關(guān)結(jié)論;如果你有自己更好的做法,那就以自己的做法為主,只要正確,一樣得分.
探究問題:如圖2,在△ABC和△EFC中,AC=BC,EC=FC,∠ACB=∠ECF=90°,連接BF,AE交于點(diǎn)D,BF交AC于點(diǎn)H,連接CD.
(1)求證BF=AE;
(2)請直接寫出∠ADB=度,∠BDC=度;
(3)若∠DBC=15°,求證AH=2CD.發(fā)布:2024/8/6 8:0:9組卷:415引用:3難度:0.1