1．定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊上一點(diǎn)，如果所得線段把三角形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，則稱(chēng)這條線段為三角形的“周長(zhǎng)平分線”．
（1）下列與等腰三角形相關(guān)的線段中，一定是所在等腰三角形的“周長(zhǎng)平分線”的是 （填序號(hào)）．
①腰上的高；
②底邊上的中線；
③底角的平分線．
（2）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=45°，P為BC的中點(diǎn)，∠APD=90°取AD中點(diǎn)Q，連接PQ．
求證：PQ是△APD的“周長(zhǎng)平分線”．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，分別取AP，DP的中點(diǎn)M，N，如圖2．請(qǐng)?jiān)贐C上找點(diǎn)E，F(xiàn)，使EM為△APE的“周長(zhǎng)平分線”，F(xiàn)N為△DPF的“周長(zhǎng)平分線”．
①用無(wú)刻度直尺確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置（保留畫(huà)圖痕跡）；
②若AB=2，CD=4，直接寫(xiě)出EF的長(zhǎng)．

2．【問(wèn)題初探】
（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問(wèn)題：如圖1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足為B，且BC＞AB．求證：BC=AD+BD．

①如圖2，小鵬同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在BC上截取BE=BD，連接AE，將線段BC與AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為AD與CE之間的數(shù)量關(guān)系．
②如圖3，小亮同學(xué)從∠D=2∠C這個(gè)條件出發(fā)給出另一種解題思路：作AC的垂直平分線，分別與AC，CD交于F，E兩點(diǎn)，連接AE，將∠D=2∠C轉(zhuǎn)化為∠D與∠BEA之間的數(shù)量關(guān)系．
請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫(xiě)出證明過(guò)程．
【類(lèi)比分析】
（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將證明三條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩條線段的關(guān)系；為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖1進(jìn)行變換并提出了下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答．
如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC（點(diǎn)D與點(diǎn)C在AB同側(cè)），若∠ADB=2∠C．求證：BC=AD+BD．
【學(xué)以致用】
（3）如圖5，在四邊形ABCD中，，求四邊形ABCD的面積．

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱(chēng)作“趙爽弦圖”，它是我國(guó)最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．
（1）請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明勾股定理；
（2）請(qǐng)利用這個(gè)圖形說(shuō)明a²+b²≥2ab,并說(shuō)明等號(hào)成立的條件；
（3）請(qǐng)根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：長(zhǎng)為x,寬為y的長(zhǎng)方形，其周長(zhǎng)為8，求當(dāng)x,y取何值時(shí)，該長(zhǎng)方形的面積最大？最大面積是多少？