小明在學習了“命題”“逆命題”相關知識后發(fā)現(xiàn)有的平面圖形的判定方法，是通過研究其性質定理的逆命題得出的，在學習等腰三角形的相關知識時，小明發(fā)現(xiàn)其性質定理“等邊對等角”與判定定理“等角對等邊”也存在互逆關系，如圖1，用幾何語言表達就是：
性質：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
判定：∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
由此，愛動腦筋的小明進行了如下思考：“等腰三角形三線合一”的性質可以分解為三個不同的真命題，即：
（1）等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高線；
（2）等腰三角形頂角的平分線也是底邊上的高線：
（3）等腰三角形頂角的平分線也是底邊上的中線；
由此3個真命題，小明得到三個新命題，即：
Ⅰ．如果一個三角形一邊上的中線也是這邊上的高線，那么這個三角形是等腰三角形；
Ⅱ．如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的高線，那么這個三角形是等腰三角形；
Ⅲ． 如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形．
（1）請你根據(jù)前面的命題3寫出小明猜想的第Ⅲ個命題：如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形；
（2）小明認為這三個命題如果是真命題，那么就可以作為等腰三角形的判定方法，于是小明對三個命題進行證明，他把前兩個命題根據(jù)圖2寫出了已知，求證：
命題Ⅰ：△ABC中，D是BC邊上的中點，AD⊥BC，求證：△ABC是等腰三角形；
命題Ⅱ：△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，求證：△ABC是等腰三角形；
命題Ⅲ：△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC邊上的中點，求證：△ABC是等腰三角形△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC邊上的中點，求證：△ABC是等腰三角形；
①請你寫出命題Ⅲ的幾何語言；
②小明猜想的三個命題是否都是真命題，如果不是，請說明理由．如果是，請幫助小明進行證明．
【考點】三角形綜合題．
【答案】如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形；如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形；△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC邊上的中點，求證：△ABC是等腰三角形
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/28 8:0:9組卷：111引用：1難度：0.3
相似題
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1．在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（m,0），（2，-4），（n,0），且m,n滿足方程（m-2）xn-4+
=0為二元一次方程．ym2-3
（1）求A、C的坐標；
（2）若點D為y軸正半軸上的一個動點．
①如圖1，已知∠DAO=∠ACB，∠ADO與∠ACB的角平分線交于點P，求∠P的度數(shù)；
②如圖2，連接BD，交x軸于點E．若S△ADE≤S△BCE成立．設動點D坐標為（0，a），求a的取值范圍．
發(fā)布：2025/6/8 0:30:1組卷：83引用：1難度：0.1 -
2．在平面直角坐標系中，A（a,0），C（b,2），且滿足（a+b）2+|a-b+4|=0，過C作CB⊥x軸于B．
（1）如圖1，求△ABC的面積．
（2）如圖2，若過B作BD∥AC交y軸于D，在△ABC內有一點E，連接AE、DE，若∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO，求∠AED的度數(shù)．
（3）如圖3，在（2）的條件下，DE與x軸交于點M，AC與y軸交于點F，作△AME的角平分線MP，在PE上有一點Q，連接QM，∠EAM+2∠PMQ=45°，當AE=mAM，F(xiàn)O=2QM時，求點E的縱坐標（用含m的代數(shù)式表示）．
發(fā)布：2025/6/7 23:0:2組卷：189引用：2難度：0.2 -
3．已知線段AB⊥l于點B，點D在直線l上，分別以AB、AD為邊作等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，直線CE交直線l于點F．
（1）當點F在線段BD上時，如圖①，直接寫出DF，CE，CF之間的關系 ．
（2）當點F在線段BD的延長線上時，如圖②，當點F在線段DB的延長線上時，如圖③，請分別寫出線段DF、CE、CF之間的數(shù)量關系，在圖②、圖③中選一個進行證明．
（3）在（1）、（2）的條件下，若BD=2BF，EF=6，請直接寫出CF的值．
發(fā)布：2025/6/8 2:0:5組卷：424引用：2難度：0.1