已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一個頂點為（0，3），離心率為12．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設過橢圓右焦點的直線l1交橢圓于A、B兩點，過原點的直線l2交橢圓于C、D兩點．若l1∥l2，求證：|CD|2|AB|為定值．
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
（
0
，
3
）
1
2
|
CD
|
2
|
AB
|
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：當直線AB的斜率存在時，
設直線AB的斜率為k，依題意k≠0，
則直線AB的方程為y=k（x-1），直線CD的方程為y=kx．
設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
則，，
==．
由
整理得，
則.．
∴．
綜合（1）（2），為定值．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）證明：當直線AB的斜率存在時，
設直線AB的斜率為k，依題意k≠0，
則直線AB的方程為y=k（x-1），直線CD的方程為y=kx．
設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = k （ x - 1 ） |
則
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
|
AB
|
=
1
+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
1
+
k
2
?
（
8
k
2
3
+
4
k
2
）
2
-
4
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
）
12
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = kx |
x
2
=
12
3
+
4
k
2
則
|
x
3
-
x
4
|
=
4
3
3
+
4
k
2
|
CD
|
=
1
+
k
2
|
x
3
-
x
4
|
=
4
3
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
∴
|
CD
|
2
|
AB
|
=
48
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
?
3
+
4
k
2
12
（
1
+
k
2
）
=
4
綜合（1）（2），
|
CD
|
2
|
AB
|
=
4
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：720難度：0.7
相似題
-
1．點P在以F1，F2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點坐標分別是F1（-3，0），F2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：103引用：1難度：0.9 -
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7