【問(wèn)題提出】
（1）如圖1，∠AOB=45°，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，M、N分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2，連接P1，P2與OA、OB相交于M、N，則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，且順次連接O，P1，P2后△OP1P2的形狀是等腰直角三角形．理由如下：
∵點(diǎn)P關(guān)于邊OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為P1，P2，
∴OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，PM=P1M，PN=P2N．
∴C△PMN=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN=P1P2，
即△PMN周長(zhǎng)的最小值為P1P2．
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP）=90°．
∴△OP1P2是等腰直角三角形．
學(xué)以致用：若∠AOB=30°，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2，順次連接O，P1，P2，則△OP1P2的形狀是 等邊等邊三角形．
（2）【問(wèn)題探究】如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AD=h,請(qǐng)用含有h的代數(shù)式表示△ABC的面積．
（3）【問(wèn)題解決】如圖3，在四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到頂點(diǎn)B的距離為10，∠ABC=60°，點(diǎn)M、N分別是AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接P、M、N，使△PMN在周長(zhǎng)最小的情況下，面積最大，問(wèn)：是否存在使△PMN在周長(zhǎng)最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請(qǐng)求出△PMN的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】等邊
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/8/18 19:0:1組卷：187引用：2難度：0.2
相似題
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1．[問(wèn)題提出]
正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？
[問(wèn)題探究]
如圖①，△ABC是等邊三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到△ABC各邊距離PF、PE、PD分別為h1、h2、h3，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)是a,面積為S．過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB．
∴OM=Rcos∠AOB=Rcos60°，AM=Rsin12∠AOB=Rsin60°，AB=2AM=2Rsin60°12
∴S△ABC=3S△AOB=3×AB×OM=3R2sin60°cos60°①12
∵S△ABC又可以表示為a（h1+h2+h3）②12
聯(lián)立①②得a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
[問(wèn)題解決]
如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到△ABC各邊距PH、PM、PN、PI、PL分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的分析過(guò)程，探究h1+h2+h3+h4+h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．
[性質(zhì)應(yīng)用]
（1）正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和h1+h2+h3+h4+h5+h6=．
（2）如圖③，正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和h1+h2+hn-1+hn=．發(fā)布：2025/5/24 8:0:1組卷：149引用：1難度：0.2 -
2．在五邊形ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，△ADE是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．CE與AD交于點(diǎn)G，將直線EC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：∠AEF=∠DCE；
（2）判斷線段AB，AF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若FG=CG，且AB=2，求線段BC的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/5/24 8:0:1組卷：328引用：2難度：0.2 -
3．四邊形ABCD為正方形，AB=8，點(diǎn)E為直線BC上一點(diǎn)，射線AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)G．
（1）如圖，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上．求證：△CFG∽△EFC；
（2）是否存在點(diǎn)E，使得△CFG是等腰三角形？若存在，求BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/5/24 7:0:1組卷：57引用：1難度：0.1