已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)A（42，3），且焦距為10．
（1）求C的方程；
（2）已知點(diǎn)B（42，-3），D（22，0），E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H兩點(diǎn)．證明：|GD||GE|=|HD||HE|．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
A
（
4
2
，
3
）
B
（
4
2
，-
3
）
D
（
2
2
，
0
）
|
GD
|
|
GE
|
=
|
HD
|
|
HE
|
【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合．
【答案】（1）-=1；
（2）證明：設(shè)E（4，n），G（x1，y1），H（x2，y2），
直線DE的方程為y=（x-2），即y=（x-2），
與雙曲線9x2-16y2=144聯(lián)立，可得（9-2n2）x2+8n2x-16n2-144=0，
Δ=128n4+4（9-2n2）（16n2+144）＞0，且9-2n2≠0，x1+x2=-，x1x2=，
由于G，D，H，E四點(diǎn)按照從左到右排列，且共線，
要證，即證=，
即證（x1-2）（4-x2）=（2-x2）（4-x1），
即證4x1-x1x2-16+2x2=16-2x1-4x2+x1x2，
即證6（x1+x2）-2x1x2=32，
由6（x1+x2）-2x1x2=6?（-）-2?==32，
故原等式成立．
x
2
16
y
2
9
（2）證明：設(shè)E（4
2
直線DE的方程為y=
n
4
2
-
2
2
2
n
2
2
2
與雙曲線9x2-16y2=144聯(lián)立，可得（9-2n2）x2+8
2
Δ=128n4+4（9-2n2）（16n2+144）＞0，且9-2n2≠0，x1+x2=-
8
2
n
2
9
-
2
n
2
-
16
n
2
-
144
9
-
2
n
2
由于G，D，H，E四點(diǎn)按照從左到右排列，且共線，
要證
|
GD
|
|
GE
|
=
|
HD
|
|
HE
|
2
2
-
x
1
4
2
-
x
1
x
2
-
2
4
2
-
x
2
即證（x1-2
2
2
2
2
即證4
2
2
2
2
即證6
2
由6
2
2
8
2
n
2
9
-
2
n
2
-
16
n
2
-
144
9
-
2
n
2
-
64
n
2
+
288
9
-
2
n
2
故原等式成立．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：697引用：7難度：0.5
相似題
-
1．已知雙曲線C：
=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)為A，過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，|PA|=x2a2-y2b2，△PAQ的面積為3．10
（1）求C的方程；
（2）證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．發(fā)布：2024/12/18 0:0:1組卷：712引用：8難度：0.5 -
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A，過(guò)右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC的面積為x2a2-y2b2=1．2+1
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx-1與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．|MN||PQ|發(fā)布：2024/10/31 12:30:1組卷：543引用：11難度：0.5 -
3．已知雙曲線
的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段BF1的中點(diǎn)，且BF1⊥BF2，則C的離心率為（ ?。?/h2>C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）發(fā)布：2024/11/8 21:0:2組卷：445引用：8難度：0.5