| 倍長中線（Method of times the length of line） 倍長中線的意思是：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等，此法常用于構造全等三角形，利用中線的性質、輔助線、對頂角一般用“SAS”證明對應邊之間的關系． |
（1）問題發(fā)現
如圖1，點E在BC上，BE：CE=1：2，BD與AE相交于點P，延長BD至點F，使得BD=DF，連接AF，求
AP
PE
王林同學根據題意寫出了如下不完整的求解過程，請補全其過程．
| 解：設BE=k,則CE= 2k 2k ；∵BD是AC邊上的中線， ∴AD=CD； ∵在△BCD和△FAD中，
∴△BCD≌△FAD（ SAS SAS ）∴ ∠CBD ∠CBD =∠AFD ∠AFD ，∴BC∥FA；∴BC=FA=3k； 又∵BC∥FA， ∴△BPE∽△FPA； ∴ AP PE = AF BE 3 3 ． |
如圖2，點E在BC的延長線上，AE與BD的延長線交于點P，CE：BC=1：3，求
AP
PE
（3）拓展延伸
在（2）的探究結論下，若BC=4，AC=6，求BP的長．
【考點】相似形綜合題．
【答案】2k；SAS；∠CBD；∠AFD；3
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：265引用：2難度：0.3
相似題
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1．如圖1，Rt△ABC中，AC=6cm,BC=8cm,點P以2cm/s的速度從A處沿AB方向勻速運動，點Q以1cm/s的速度從C處沿CA方向勻速運動．連接PQ，若設運動的時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，△APQ與△ABC相似？
（2）設四邊形BCQP的面積為y,求出y與t的函數關系式，并求當t為何值時，y的值最小，寫出最小值；
（3）如圖2，將△APQ沿AP翻折，使點Q落在Q′處，連接AQ′，PQ′，若四邊形AQPQ′是平行四邊形，求t的值．發(fā)布：2024/12/2 8:0:1組卷：105難度：0.5 -
2．如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處．已知折痕CE=5，且AE：AD=3：4．5
（1）判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；
（2）求直線CE與x軸交點P的坐標；
（3）是否存在過點D的直線l,使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．發(fā)布：2024/12/23 11:0:1組卷：657引用：7難度：0.3 -
3．如圖1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/秒，連接PQ，設運動的時間為t秒（0≤t≤4）
（1）求△ABC的面積；
（2）當t為何值時，PQ∥BC；
（3）當t為何值時，△AQP面積為S=6cm2；
（4）如圖2，把△AQP翻折，得到四邊形AQPQ′能否為菱形？若能，求出菱形的周長；若不能，請說明理由．
發(fā)布：2024/12/2 8:0:1組卷：91引用：1難度：0.5
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