2022-2023學(xué)年上海市育才中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）1-6題每個空格填對每題得4分，7-12題每個空格填對每題得5分，否則一律得零分．

• 1．已知集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}，則A∩B=

  ．
  組卷：35引用：2難度：0.8

  解析

• 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x,y），則x,y滿足的關(guān)系式為

  ．
  組卷：54引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的離心率e=2，則該雙曲線的漸近線方程為

  ．
  組卷：3671引用：31難度：0.7

  解析

• 4．在

  （

  x

  +

  2

  x

  2

  ）

  5

  的展開式，x²的系數(shù)是

  ．
  組卷：243引用：3難度：0.9

  解析

• 5．某團支部隨機抽取甲、乙兩位同學(xué)連續(xù)9期“青年大學(xué)習(xí)”的成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關(guān)于這9期的成績，則乙的成績最低為

  ．
  組卷：14引用：2難度：0.9

  解析

• 6．設(shè)m,n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，給定下列四個命題：
  ①若m⊥n,n?α，則m⊥α；
  ②若m⊥α，m?β，則α⊥β；
  ③若m⊥α，n⊥α，則m∥n；
  ④若m?α，n?β，α∥β，則m∥n.
  其中真命題的序號為

  ．
  組卷：134引用：9難度：0.7

  解析

• 7．為調(diào)查某重點中學(xué)三個年級學(xué)生的課外閱讀情況，從該中學(xué)2000名學(xué)生中通過分層抽樣抽取了部分學(xué)生統(tǒng)計了這部分學(xué)生一個月的課外閱讀時間（如表所示，所有學(xué)生的課外閱讀時間相互獨立，單位為小時）．若從高一年級抽出的學(xué)生中隨機選取一人（記為甲），從高三年級抽出的學(xué)生中隨機選取一人（記為乙），則這一個月中甲的課外閱讀時間比乙的課外閱讀時間短的概率為

  ．
  

  年級	抽取的學(xué)生各自的閱讀時間（小時）
  高一	9	10	12	15	18	22	24	26
  高二	10	15	16	19	20	23	25
  高三	11	14	14	15	16
  組卷：17引用：2難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．

• 20．如圖，A，B是橢圓

  C

  ：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  長軸的兩個端點，M，N是橢圓上與A，B均不重合的相異兩點，設(shè)直線AM，BN，AN的斜率分別是k₁，k₂，k₃．
  （1）求k₂?k₃的值；
  （2）若直線MN過點

  （

  2

  2

  ，

  0

  ）

  ，求證：

  k

  1

  ?

  k

  3

  =

  -

  1

  6

  ；
  （3）設(shè)直線MN與x軸的交點為（t,0）（t為常數(shù)且t≠0），試探究直線AM與直線BN的交點Q是否落在某條定直線上？若是，請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．
  組卷：656引用：5難度：0.1

  解析

• 21．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  acosx

  -

  cosax

  a

  ，其中a＞0且a≠1．
  （1）若a=2，φ（x）=f'（x），曲線y=φ（x）在點（t,φ（t））處的切線為l,求直線l斜率的取值范圍：
  （2）若f'（x）在區(qū)間（0，2π）有唯一極值點x₀，
  ①求a的取值范圍；
  ②用min{a,b,c}表示a,b,c的最小值．證明：f'（x₀）＜min{2aπ，（1-a）π}．
  組卷：152引用：2難度：0.4

  解析