2023-2024學(xué)年北京四中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）

• 1．已知直線l的一個(gè)方向向量為

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ）

  ，則直線l的斜率為（　?。?/div>

  A． 2

  B． 3

  C． - 2 2

  D．-1
  組卷：62引用：2難度：0.8

  解析
• 2．已知點(diǎn)A（-2，3，0），B（1，3，2），

  AP

  =

  2

  AB

  ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）

  A．（4，3，4）

  B．（-4，-1，-4）

  C．（-1，6，2）

  D．（-5，3，-2）
  組卷：110引用：4難度：0.8

  解析
• 3．已知直線方程kx-y-2k=0，則可知直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?/div>

  A．（-2，0）

  B．（2，0）

  C．（0，-2）

  D．（0，2）
  組卷：120引用：2難度：0.7

  解析
• 4．平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長(zhǎng)都是1，O為A₁C₁中點(diǎn)，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，

  AO

  =

  A

  A

  1

  +

  x

  AB

  +

  y

  AD

  ，則（　?。?/div>

  A．x=1，y=1

  B．x=1， y = 1 2

  C． x = 1 2 ， y = 1 2

  D． x = 1 2 ，y=1
  組卷：85引用：2難度：0.5

  解析
• 5．“a=-3”是“直線x+ay+2=0與直線ax+（a+2）y+1=0互相垂直”的（　?。?/div>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：155引用：9難度：0.7

  解析
• 6．已知點(diǎn)（1，-2）和

  （

  3

  3

  ，

  0

  ）

  在直線l：ax-y-1=0（a≠0）的兩側(cè)，則直線l傾斜角的取值范圍是（　?。?/div>

  A． （ π 4 ， π 3 ）	B． （ 2 π 3 ， 5 π 6 ）
  C． （ 0 ， π 3 ） ∪ （ 3 π 4 ， π ）	D． （ π 3 ， 2 π 3 ）
  組卷：854引用：20難度：0.7

  解析
• 7．過(guò)點(diǎn)A（4，1）的圓C與直線x-y=1相切于點(diǎn)B（2，1），則圓C的方程為（　?。?/div>

  A．（x-3）2+（y+1）2=5	B． （ x - 3 ） 2 + y 2 = 2
  C．（x-3）2+（y-8）2=50	D．（x-3）2+y2=2
  組卷：379引用：4難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共6小題，共85分）

• 20．已知圓

  C

  1

  ：

  x

  2

  +

  y

  2

  +

  6

  x

  -

  2

  y

  +

  6

  =

  0

  和圓

  C

  2

  ：

  x

  2

  +

  y

  2

  -

  8

  x

  -

  10

  y

  +

  41

  -

  r

  2

  =

  0

  （r＞0）．
  （1）若圓C₁與圓C₂相交，求r的取值范圍；
  （2）若直線l：y=kx+1與圓C₁交于P、Q兩點(diǎn)，且

  OP

  ?

  OQ

  =

  4

  ，求實(shí)數(shù)k的值；
  （3）若r=2，設(shè)P為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：204引用：4難度：0.5

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• 21．對(duì)于n維向量A=（a₁，a₂，…，a_n），若對(duì)任意i∈{1，2，…，n}均有a_i=0或a_i=1，則稱A為n維T向量．對(duì)于兩個(gè)n維T向量A，B，定義d（A，B）=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  |

  a

  i

  -

  b

  i

  |

  ．
  （Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．
  （Ⅱ）現(xiàn)有一個(gè)5維T向量序列：A₁，A₂，A₃，…，若A₁=（1，1，1，1，1）且滿足：d（A_i，A_i+1）=2，i∈N^*．求證：該序列中不存在5維T向量（0，0，0，0，0）．
  （Ⅲ）現(xiàn)有一個(gè)12維T向量序列：A₁，A₂，A₃，…，若

  A

  1

  =

  （

  1

  ，

  1

  ，…，

  1

  12

  個(gè)

  ）

  且滿足：d（A_i，A_i+1）=m,m∈N^*，i=1，2，3，…，若存在正整數(shù)j使得

  A

  j

  =

  （

  0

  ，

  0

  ，…，

  0

  12

  個(gè)

  ）

  ，A_j為12維T向量序列中的項(xiàng)，求出所有的m.
  組卷：92引用：3難度：0.5

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