2023-2024學(xué)年云南省昆明三中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．

• 1．同時(shí)擲兩個(gè)均勻骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率是（　　）

  A． 1 3

  B． 1 4

  C． 1 6

  D． 1 12
  組卷：40引用：3難度：0.7

  解析

• 2．若橢圓

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  =

  1

  上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F₁的距離為2，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)F₂的距離為（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：201引用：5難度：0.7

  解析

• 3．已知

  1

  +

  cos

  2

  α

  sin

  2

  α

  =3，則tanα=（　?。?/h2>

  A．2

  B．3

  C． 1 2

  D． 1 3
  組卷：378引用：4難度：0.9

  解析

• 4．若O是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，則異面直線BB₁與OC所成角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 3 3

  B． 2 3

  C． 6 3

  D． 3 5
  組卷：24引用：3難度：0.6

  解析

• 5．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60°，則該雙曲線的離心率為（　?。?/h2>

  A． 3 3

  B． 3

  C． 3 2

  D． 2 3 3
  組卷：142引用：4難度：0.6

  解析

• 6．在圓M：x²+y²-4x+2y-4=0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O（0，0）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（　　）

  A．24

  B．12

  C．10

  D．8
  組卷：140引用：6難度：0.6

  解析

• 7．阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓．橢圓的面積等于圓周率π與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的面積為80π，點(diǎn)P在橢圓C上，且點(diǎn)P與橢圓C左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為

  -

  16

  25

  ，記橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，則|PF₁|的值不可能為（　　）

  A．4

  B．8

  C．14

  D．18
  組卷：68引用：3難度：0.5

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四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

• 21．已知雙曲線E：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的離心率為2，點(diǎn)P（2，3）在E上，F(xiàn)為E的右焦點(diǎn)．
  （1）求雙曲線E的方程；
  （2）設(shè)Q為E的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l交E于A，B（A，B不與Q重合）兩點(diǎn)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求證：|AB|=2|MQ|．
  組卷：258引用：2難度：0.5

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• 22．已知圓A₁：（x+1）²+y²=16，直線l₁過(guò)點(diǎn)A₂（1，0）且與圓A₁交于點(diǎn)B，C，線段BC的中點(diǎn)為D，過(guò)A₂C的中點(diǎn)E且平行于A₁D的直線交A₁C于點(diǎn)P，記P的軌跡為Γ．
  （1）求Γ的方程；
  （2）坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于A₁，A₂的對(duì)稱點(diǎn)分別為B₁，B₂，點(diǎn)A₁，A₂關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為C₁，C₂，過(guò)A₁的直線l₂與Γ交于點(diǎn)M，N，直線B₁M與B₂N相交于點(diǎn)Q．求證：△QC₁C₂的面積是定值．
  組卷：136引用：1難度：0.3

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