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2022-2023學年北京市大興區(qū)亦莊實驗中學高二（下）期中數(shù)學試卷

發(fā)布：2024/5/5 8:0:9

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．已知向量
a
=
（
x
,
2
）
，
b
=
（
-
1
，
1
）
，若
a
⊥
b
，則x=（　?。?/h2>
A．1 B．-1 C．2 D．-2
組卷：232引用：3難度：0.8
解析
2．化簡sinxcosx（tanx+
1
tanx
）的結果是（　?。?/h2>
A．cos2x B．-1 C．1 D．sin2x
組卷：225引用：3難度：0.8
解析
3．如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30，此時時針與分針的夾角為α（0＜α
≤
π
2
）．若一個扇形的圓心角為α，弧長為10，則該扇形的面積為（　?。?/h2>
A．
25
π
6
B．
25
π
12
C．
240
π
D．
120
π
組卷：470引用：6難度：0.6
解析
4．古希臘的數(shù)學家特埃特圖斯（Theaetetus,約前417-前369）通過如圖來構造無理數(shù)
2
，
3
，
5
，?．記∠BAC=α，∠DAC=β，則cos（a+β）=（　?。?/h2>
A．
6
3
-
2
2
B．
3
3
-
6
6
C．
3
3
+
6
3
D．
6
3
+
2
2
組卷：162引用：4難度：0.8
解析
5．已知a=cos
π
8
cos
3
π
8
-sin
π
8
sin
3
π
8
，b=2sin
π
12
cos
π
12
，c=1-2sin²
π
8
，那么a,b,c的大小關系為（　?。?/h2>
A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b
組卷：115引用：2難度：0.7
解析
6．已知
cos
（
π
4
+
α
）
=
4
5
，則
sin
（
π
4
-
α
）
的值為（　?。?/h2>
A．
3
5
B．
-
3
5
C．
4
5
D．
-
4
5
組卷：241引用：2難度：0.7
解析
7．已知tanα，tanβ是方程6x²-5x+1=0的兩個根，且α，β為銳角，則α+β的值為（　?。?/h2>
A．
3
π
4
B．
π
2
C．
π
3
D．
π
4
組卷：162引用：2難度：0.6
解析

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三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

20．如圖，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求|
AB
|；
（2）已知點D是AB上一點，滿足
AD
=λ
AB
，點E是邊CB上一點，滿足
BE
=λ
BC
．
①當λ=
1
2
時，求
AE
?
CD
；
②是否存在非零實數(shù)λ，使得
AE
⊥
CD
？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
組卷：487引用：20難度：0.1
解析
21．定義向量
OM
=
（
a
,
b
）
的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx,函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為
OM
=
（
a
,
b
）
，其中O為坐標原點，記平面內所有向量的“相伴函數(shù)”構成的集合為S．
（Ⅰ）設函數(shù)
f
（
x
）
=
-
2
sin
（
x
-
π
6
）
，求證：f（x）∈S；
（Ⅱ）記向量
ON
=
（
1
，
2
）
的相伴函數(shù)為g（x），當g（x）=2且
x
∈
（
0
，
π
2
）
時，求sinx的值；
（Ⅲ）將（Ⅰ）中函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
3
個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到h（x）的圖象．已知A（-3，3），B（3，11），問在y=h（x）的圖象上是否存在一點P，使得
AP
⊥
BP
．若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．
組卷：325引用：3難度：0.2
解析

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2022-2023學年北京市大興區(qū)亦莊實驗中學高二（下）期中數(shù)學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．已知向量a=（x,2），b=（-1，1），若a⊥b，則x=（ ?。?/h2>

2．化簡sinxcosx（tanx+1tanx）的結果是（ ?。?/h2>

3．如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30，此時時針與分針的夾角為α（0＜α≤π2）．若一個扇形的圓心角為α，弧長為10，則該扇形的面積為（ ?。?/h2>

4．古希臘的數(shù)學家特埃特圖斯（Theaetetus,約前417-前369）通過如圖來構造無理數(shù)2，3，5，?．記∠BAC=α，∠DAC=β，則cos（a+β）=（ ?。?/h2>

5．已知a=cosπ8cos3π8-sinπ8sin3π8，b=2sinπ12cosπ12，c=1-2sin2π8，那么a,b,c的大小關系為（ ?。?/h2>

6．已知cos（π4+α）=45，則sin（π4-α）的值為（ ?。?/h2>

7．已知tanα，tanβ是方程6x2-5x+1=0的兩個根，且α，β為銳角，則α+β的值為（ ?。?/h2>

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．已知向量
a
=
（
x
,
2
）
，
b
=
（
-
1
，
1
）
，若
a
⊥
b
，則x=（　?。?/h2>

2．化簡sinxcosx（tanx+
1
tanx
）的結果是（　?。?/h2>

3．如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30，此時時針與分針的夾角為α（0＜α
≤
π
2
）．若一個扇形的圓心角為α，弧長為10，則該扇形的面積為（　?。?/h2>

4．古希臘的數(shù)學家特埃特圖斯（Theaetetus,約前417-前369）通過如圖來構造無理數(shù)
2
，
3
，
5
，?．記∠BAC=α，∠DAC=β，則cos（a+β）=（　?。?/h2>

5．已知a=cos
π
8
cos
3
π
8
-sin
π
8
sin
3
π
8
，b=2sin
π
12
cos
π
12
，c=1-2sin²
π
8
，那么a,b,c的大小關系為（　?。?/h2>

6．已知
cos
（
π
4
+
α
）
=
4
5
，則
sin
（
π
4
-
α
）
的值為（　?。?/h2>

7．已知tanα，tanβ是方程6x²-5x+1=0的兩個根，且α，β為銳角，則α+β的值為（　?。?/h2>

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。