2023-2024學(xué)年河南省鄭州市鄭州四中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．已知

  {

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }

  為空間的組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（　　）

  A． a + b ， b + c ， a - c	B． 2 a + b ， b ， a - c
  C． 2 a + b ， b + 2 c ， a + b + c	D． a + c ， b + 2 a ， b - 2 c
  組卷：96引用：3難度：0.8

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• 2．已知直線l₁：mx+y-1=0，l₂：（4m-3）x+my-1=0，若l₁∥l₂，則實(shí)數(shù)m=（　?。?/div>

  A．1

  B．3

  C．1或3

  D．0
  組卷：97引用：5難度：0.8

  解析
• 3．若過(guò)點(diǎn)P（-1，0）的直線與以點(diǎn)

  A

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  B

  （

  -

  2

  ，

  3

  ）

  為端點(diǎn)的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（　?。?/div>

  A． [ π 4 ， 2 π 3 ]	B． [ π 4 ， π 3 ]
  C． [ 0 ， π 4 ] ∪ [ 2 π 3 ， π ）	D． [ 0 ， π 4 ] ∪ （ π 2 ， 2 π 3 ]
  組卷：818引用：11難度：0.7

  解析
• 4．已知直線l₁的方向向量

  a

  =（2，4，x），直線l₂的方向向量

  b

  =（2，y,2），若|

  a

  |=6，且

  a

  ⊥

  b

  ，則x+y的值是（　?。?/div>

  A．-3或1

  B．3或-1

  C．-3

  D．1
  組卷：202引用：20難度：0.9

  解析
• 5．給出下列命題：
  ①若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有

  AB

  +

  BC

  +

  CD

  +

  DA

  =

  0

  ；
  ②

  |

  a

  |

  -

  |

  b

  |

  =

  |

  a

  +

  b

  |

  是

  a

  ，

  b

  共線的充要條件；
  ③若

  AB

  ，

  CD

  共線，則AB∥CD；
  ④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若

  OP

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  +

  z

  OC

  （其中x,y,z∈R），則P，A，B，C四點(diǎn)共面．
  其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（　?。?/div>

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：175引用：4難度：0.7

  解析
• 6．若直線l：kx-y-2=0與曲線

  C

  ：

  1

  -

  （

  y

  -

  1

  ）

  2

  =

  x

  -

  1

  有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　?。?/div>

  A． （ 4 3 ， 2 ]	B． （ 4 3 ， 4 ）
  C． [ - 2 ， 4 3 ） ∪ （ 4 3 ， 2 ]	D． （ 4 3 ， + ∞ ）
  組卷：410引用：32難度：0.6

  解析
• 7．已知點(diǎn)P是直線l₁：mx-ny-5m+n=0和l₂：nx+my-5m-n=0（m,n∈R，m²+n²≠0）的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓C：（x+1）²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最大值是（　　）

  A． 5 + 2 2

  B． 6 + 2 2

  C． 5 + 2 3

  D． 6 + 2 3
  組卷：188引用：10難度：0.6

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四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、推理過(guò)程和演算步驟．

• 21．已知實(shí)數(shù)m,n滿足2mn=1．令

  m

  =

  x

  +

  y

  2

  ，

  n

  =

  x

  -

  y

  2

  ，記動(dòng)點(diǎn)M（x,y）的軌跡為E．
  （1）求E的方程，并說(shuō)明E是什么曲線；
  （2）過(guò)點(diǎn)F₂（2，0）作相互垂直的兩條直線l₁和l₂，l₁和l₂與E分別交于A、B和C、D，證明：|AB|=|CD|．
  組卷：39引用：2難度：0.5

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• 22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-1，0），B（1，0），M為平面xOy內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|BM|=4，線段AM的垂直平分線交BM于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)N的軌跡是曲線C．
  （1）求曲線C的方程；
  （2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，問(wèn)是否存在定點(diǎn)H，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)H？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：154引用：8難度：0.5

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