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2022年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

發(fā)布：2024/4/20 14:35:0

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1．已知集合A={x|x≥-1}，B={x||x-1|＜2}，則A∪B=（　　）
A．{x|-1＜x＜3} B．{x|x＞-1} C．{x|-1≤x＜3} D．{x|x≥-1}
組卷：194引用：1難度：0.9
解析
2．下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（　?。?/h2>
A．y=lnx B．y=e^x C．y=x³ D．
y
=
1
x
組卷：643引用：3難度：0.7
解析
3．已知復(fù)數(shù)z滿足iz=2+i,則z的虛部為（　　）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
組卷：339引用：3難度：0.8
解析
4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²，則{a_n}是（　　）
A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為3的等差數(shù)列
C．公比為2的等比數(shù)列 D．公比為3的等比數(shù)列
組卷：430引用：5難度：0.7
解析
5．已知
sinα
=
3
5
，則sin（π-2α）?tanα=（　　）
A．
32
25
B．
-
32
25
C．
18
25
D．
-
18
25
組卷：528引用：3難度：0.9
解析
6．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E為BC上一點(diǎn)，則三棱錐B₁-AC₁E的體積為（　?。?/h2>
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
6
組卷：592引用：9難度：0.7
解析
7．在中國(guó)農(nóng)歷中，一年有24個(gè)節(jié)氣，“立春”居首．北京2022年冬奧會(huì)開(kāi)幕正逢立春，開(kāi)幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計(jì)時(shí)讓全世界領(lǐng)略了中華智慧．墩墩同學(xué)要從24個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選取3個(gè)介紹給外國(guó)的朋友，則這3個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的概率為（　?。?/h2>
A．
3
22
B．
1
8
C．
2
23
D．
1
12
組卷：315引用：2難度：0.7
解析

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三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

20．已知橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的離心率為
3
2
，焦距為
2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（4，0）作斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)t,使得直線x=t與直線l的交點(diǎn)Q在A，B之間，且總有
|
PA
|
|
PB
|
=
|
QA
|
|
QB
|
？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．
組卷：592引用：1難度：0.5
解析
21．設(shè)數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）．如果a_i∈{1，2，…，n}（i=1，2，…，n），且當(dāng)i≠j時(shí)，a_i≠a_j（1≤i,j≤n），則稱數(shù)列A具有性質(zhì)P．對(duì)于具有性質(zhì)P的數(shù)列A，定義數(shù)列T（A）：t₁，t₂，…，t_n-1，其中t_k=
1
，
a
k
＜
a
k
+
1
，
0
，
a
k
＞
a
k
+
1
（
k
=
1
，
2
，…，
n
-
1
）．
（Ⅰ）對(duì)T（A）：0，1，1，寫出所有具有性質(zhì)P的數(shù)列A；
（Ⅱ）對(duì)數(shù)列E：e₁，e₂，…，e_n-1（n≥2），其中e_i∈{0，1}（i=1，2，…，n-1），證明：存在具有性質(zhì)P的數(shù)列A，使得T（A）與E為同一個(gè)數(shù)列；
（Ⅲ）對(duì)具有性質(zhì)P的數(shù)列A，若|a₁-a_n|=1（n≥5）且數(shù)列T（A）滿足t_i=
0
，
i
為奇數(shù)
，
1
，
i
為偶數(shù)
（i=1，2，?，n-1），證明：這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個(gè)．
組卷：282引用：5難度：0.4
解析