2023-2024學(xué)年湖南省長沙市雅禮中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
發(fā)布：2024/8/3 8:0:9
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
-
1．已知復(fù)數(shù)z=（1-i）+λ（1+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)λ=（ ?。?/h2>
組卷：43引用：5難度：0.8 -
2．已知集合A={（x,y）|x=y}，B={（x,y）|y=8-x}，則A∩B=（ ）
組卷：135引用：5難度：0.8 -
3．已知x∈R，則x≥1且y≥4是x+y≥5且xy≥4成立的（ ）
組卷：204引用：3難度：0.9 -
4．有一個(gè)人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是（ ?。?/h2>
組卷：861引用：31難度：0.9 -
5．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x2022的平均數(shù)和方差分別為3和56，若yi=2xi+3（i=1，2，…，2022），則y1，y2，…，y2022的平均數(shù)和方差分別是（ ?。?/h2>
組卷：343引用：4難度：0.9 -
6．某中學(xué)舉行了一次“網(wǎng)絡(luò)信息安全”知識(shí)競賽，將參賽的100名學(xué)生成績分為6組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則成績?cè)趨^(qū)間[75，80）內(nèi)的學(xué)生有（ ?。?/h2>組卷：133引用：4難度：0.7 -
7．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則
f（k）=（ ）22∑k=1組卷：5435引用：14難度：0.5
四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
-
，AD足夠長，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求sinα．
21．某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在E處按方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在A處按EP方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在M處成功攔截機(jī)器人甲，兩機(jī)器人停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)M在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗．已知AB=6米，E為AB中點(diǎn)，比賽中兩機(jī)器人均勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn)，記AQ與EP的夾角為θ（0＜θ＜π），EB與AQ的夾角為α（AB）．0＜α＜π2
（1）若兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向的夾角為，AD足夠長，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值；π3
（2）已知機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍．
（?。┤?div id="8ycycsu" class="MathJye" mathtag="math">θ=π3
（ⅱ）如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域ABCD的寬AD的長度，才能確保無論θ的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度α使機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功？
組卷：82引用：8難度：0.6
22．定義：μ=1n[sin2（θ1-θ0）+sin2（θ2-θ0）+?+sin2（θn-θ0）]，為實(shí)數(shù)θ1，θ2，?，θn對(duì)θ0的“正弦方差”．
（1）若θ1=π3，θ2=2π3，θ3=π，證明：實(shí)數(shù)θ1，θ2，θ3對(duì)θ0的“正弦方差”μ的值是與θ0無關(guān)的定值；
（2）若θ1=π4，θ2=α，θ3=β，α∈（π2，π），β∈（π，2π），若實(shí)數(shù)θ1，θ2，θ3對(duì)θ0的“正弦方差”μ的值是與θ0無關(guān)的定值，求α，β值．
μ
=
1
n
[
sin
2
（
θ
1
-
θ
0
）
+
sin
2
（
θ
2
-
θ
0
）
+
?
+
sin
2
（
θ
n
-
θ
0
）
]
θ
1
=
π
3
，
θ
2
=
2
π
3
，
θ
3
=
π
θ
1
=
π
4
，
θ
2
=
α
，
θ
3
=
β
，
α
∈
（
π
2
，
π
）
，
β
∈
（
π
，
2
π
）
組卷：389引用：3難度：0.3