2023年河北省石家莊市高考數學一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知集合

  A

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  x

  +

  3

  }

  ，B={x||x-2|＜1}，則A∪B=（　?。?/h2>

  A．（-3，+∞）

  B．[-3，+∞）

  C．（-3，3）

  D．[-3，3）
  組卷：68引用：1難度：0.8

  解析

• 2．復數z在復平面內對應的點為（-2，1），則

  |

  z

  +

  3

  i

  |

  =（　?。?/h2>

  A．8

  B．4

  C． 2 2

  D． 2
  組卷：177引用：4難度：0.8

  解析

• 3．截至2023年2月，“中國天眼”發(fā)現的脈沖星總數已經達到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠鏡（圖1）．觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分．某學?？萍夹〗M制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（　?。?br />

  A．1

  B．2

  C．4

  D．8
  組卷：73難度：0.7

  解析

• 4．已知數列{a_n}為各項均為正數的等比數列，a₁=4，S₃=84，則log₂（a₁a₂a₃?a₈）的值為（　　）

  A．70

  B．72

  C．74

  D．76
  組卷：480引用：6難度：0.7

  解析

• 5．“

  a

  ≥

  2

  2

  ”是“圓C₁：x²+y²=4與圓C₂：（x-a）²+（y+a）²=1有公切線”的（　?。?/h2>

  A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：190引用：8難度：0.6

  解析

• 6．為推進體育教學改革和發(fā)展，提升體育教學質量中豐富學校體育教學內容，某市根據各學校工作實際，在4所學校設立兼職教練崗位．現聘請甲、乙等6名教練去這4所中學指導體育教學，要求每名教練只能去一所中學，每所中學至少有一名教練，則甲、乙分在同一所中學的不同的安排方法種數為（　?。?/h2>

  A．96

  B．120

  C．144

  D．240
  組卷：297引用：2難度：0.7

  解析

• 7．設向量

  a

  ，

  b

  滿足

  |

  a

  |

  =

  2

  ，

  |

  b

  |

  =

  1

  ，若?t∈R，

  |

  a

  +

  t

  b

  |

  ＜

  |

  a

  +

  b

  |

  ，則向量

  a

  與

  b

  的夾角不等于（　　）

  A．30°

  B．60°

  C．120°

  D．150°
  組卷：287引用：3難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．已知點P（4，3）在雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）上，過P作x軸的平行線，分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點，|PM|?|PN|=4．
  （Ⅰ）求雙曲線C的方程；
  （Ⅱ）若直線l：y=kx+m與雙曲線C交于不同的兩點A，B，設直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，從下面兩個條件中選一個（多選只按先做給分），證明：直線l過定點．
  ①k₁+k₂=1；②k₁k₂=1．
  組卷：214引用：2難度：0.5

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• 22．伯努利不等式，又稱貝努利不等式，由數學家伯努利提出：對于實數x＞-1且x≠0，正整數n不小于2，那么（1+x）ⁿ≥1+nx.研究發(fā)現，伯努利不等式可以推廣，請證明以下問題．
  （Ⅰ）證明：當α∈[1，+∞）時，（1+x）^α≥1+αx對任意x＞-1恒成立；
  （Ⅱ）證明：對任意n∈N^*，1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+?+nⁿ＜（n+1）ⁿ恒成立．
  組卷：123引用：1難度：0.5

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