2023-2024學(xué)年福建省福州三中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．

• 1．已知空間向量

  a

  ，

  b

  ，且

  AB

  =

  3

  a

  +

  6

  b

  ，

  BC

  =

  -

  10

  a

  +

  12

  b

  ，

  CD

  =

  14

  a

  -

  4

  b

  ，則一定共線的三點是（　　）

  A．A、B、C

  B．B、C、D

  C．A、B、D

  D．A、C、D
  組卷：62引用：2難度：0.8

  解析
• 2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分別是BC、CC₁的中點，G為△ABC的重心，則

  GF

  =（　?。?/div>

  A． - 1 3 AB + 2 3 AC + 1 2 A A 1	B． 1 3 AB + 2 3 AC + 1 2 A A 1
  C． - 2 3 AB + 1 3 AC - 1 2 A A 1	D． 1 3 AB - 2 3 AC + 1 2 A A 1
  組卷：631引用：11難度：0.8

  解析
• 3．當(dāng)圓C：x²+y²+6y-3=0的圓心到直線l：mx+y+m-1=0的距離最大時，m=（　　）

  A． 1 4

  B．4

  C． - 1 4

  D．-4
  組卷：88引用：3難度：0.8

  解析
• 4．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，若∠ABF=90°，則橢圓C的離心率為（　?。?/div>

  A． 5 - 1 2

  B． 3 - 1 2

  C． 1 + 5 4

  D． 3 + 1 4
  組卷：1361引用：15難度：0.7

  解析
• 5．如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點C（-2，0）是x軸上一點，點E，F(xiàn)分別為直線y=x+3和y軸上的兩個動點，當(dāng)△CEF周長最小時，點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（　　）

  A． E （ - 13 6 ， 5 6 ） ，F(xiàn)（0，2）	B．E（-2，2），F(xiàn)（0，2）
  C． E （ - 13 6 ， 5 6 ） ， F （ 0 ， 2 5 ）	D．E（-2，2）， F （ 0 ， 2 5 ）
  組卷：11引用：1難度：0.6

  解析
• 6．若直線l：kx-y+3k=0與曲線

  C

  ：

  1

  -

  x

  2

  =

  y

  -

  1

  有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是（　?。?/div>

  A． （ 1 2 ， 3 4 ]

  B． [ 1 2 ， 3 4 ）

  C． （ 0 ， 3 4 ）

  D． （ 0 ， 3 4 ]
  組卷：1433引用：17難度：0.5

  解析
• 7．已知過橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  左焦點F且與長軸垂直的弦長為

  6

  2

  ，過點P（2，1）且斜率為-1的直線與C相交于A，B兩點，若P恰好是AB的中點，則橢圓C上一點M到F的距離的最大值為（　　）

  A．6

  B． 2 2 + 6

  C． 2 3 + 6

  D． 6 2 + 6
  組卷：165引用：8難度：0.5

  解析

四、解答題：本大題共6小題，共70分．

• 21．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.
  （1）證明：l⊥平面PDC；
  （2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
  組卷：7329引用：19難度：0.5

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• 22．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  過點A（-2，-1），離心率

  e

  =

  3

  2

  ．
  （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）設(shè)過點A的斜率為k直線l交橢圓C于另一點B，若△OAB的面積為2，其中O為坐標(biāo)原點，求直線l的斜率k的值；
  （3）設(shè)過點D（-4，0）的直線l′交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別交直線x=-4于點P，Q．求證：線段PQ的中點T為定點．
  組卷：68引用：2難度：0.5

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