2023-2024學(xué)年四川省成都市樹德中學(xué)高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一．單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．

• 1．已知直線l的方向向量為

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ，-

  2

  ）

  ，平面α的法向量為

  n

  =

  （

  2

  ，

  4

  ，

  m

  ）

  ，若l∥α，則m等于（　?。?/h2>

  A．5

  B．2

  C． 1 2

  D．-4
  組卷：180引用：3難度：0.8

  解析

• 2．已知

  a

  =（2，3，1），

  b

  =（1，-2，-2），則

  a

  在

  b

  上的投影向量為（　　）

  A． 2 b

  B． - 2 b

  C． 2 3 b

  D． - 2 3 b
  組卷：192引用：20難度：0.8

  解析

• 3．如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N，P分別是BC，MN的中點(diǎn)．設(shè)

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，則向量

  OP

  可表示為（　?。?/h2>

  A． 1 4 a + 1 4 b + 1 4 c	B． 1 2 a + 1 3 b + 1 4 c
  C． 1 3 a + 1 2 b + 1 4 c	D． 1 3 a + 1 4 b + 1 4 c
  組卷：208引用：7難度：0.8

  解析

• 4．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

  AC

  =

  3

  ，

  BC

  =

  3

  ，

  AB

  =

  3

  2

  ，

  A

  A

  1

  =

  4

  ，則異面直線A₁C與BC₁所成角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． - 16 25

  B． 9 25

  C． 16 25

  D． 4 5
  組卷：256引用：15難度：0.5

  解析

• 5．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于底面邊長(zhǎng)，A₁在底面的射影是△ABC的中心，則AB₁與底面ABC所成角的正弦值等于（　?。?/h2>

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 3 3

  D． 2 3
  組卷：62引用：3難度：0.7

  解析

• 6．在三棱錐P-ABC中，PA，AB，AC兩兩垂直，D為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，PA=AC=2，AB=3．當(dāng)BD與平面PAC所成角最大時(shí)，A到直線BD的距離為（　?。?/h2>

  A． 3 11 11

  B． 2

  C． 3 22 11

  D．3
  組卷：24引用：2難度：0.6

  解析

• 7．如圖，在四面體ABCD中，M是AD中點(diǎn)，P是BM中點(diǎn)．在線段AC上存在一點(diǎn)Q，使得PQ∥平面BCD，則

  AQ

  QC

  的值為（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．3

  D． 3 4
  組卷：213引用：1難度：0.5

  解析

四．解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

• 21．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，D₁為A₁B₁的中點(diǎn)，平面A₁B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，異面直線BC₁與AB₁互相垂直．
  （1）求證：平面A₁DC∥平面BD₁C₁；
  （2）若CC₁與平面ABB₁A₁的距離為x,A₁C=AB₁=6，三棱錐A₁-ACD的體積為y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
  （3）在（2）的條件下，當(dāng)CC₁與平面ABB₁A₁的距離為多少時(shí)，三棱錐A₁-ACD的體積取得最大值？并求出最大值．
  組卷：459引用：4難度：0.3

  解析

• 22．我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△ABD沿BD翻折，使點(diǎn)A到點(diǎn)P處．E，F(xiàn)，G分別為BD，PD，BC的中點(diǎn)，且FG是PD與BC的公垂線．
  
  （1）證明：三棱錐P-BCD為正四面體；
  （2）若點(diǎn)M，N分別在PE，BC上，且MN為PE與BC的公垂線．
  ①求

  PM

  ME

  的值；
  ②記四面體BEMN的內(nèi)切球半徑為r,證明：

  1

  2

  r

  ＞

  1

  EM

  +

  1

  BN

  ．
  組卷：99引用：3難度：0.5

  解析