人教A版（2019）選擇性必修第一冊《第一章 空間向量與立體幾何》2023年單元測試卷（9）

一、選擇題

• 1．在空間直角坐標系中，

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ，

  1

  ）

  為直線l的一個方向向量，

  n

  =

  （

  2

  ，

  t

  ,

  4

  ）

  為平面α的一個法向量，且l∥α，則t=（　?。?/div>

  A．3

  B．-3

  C．1

  D．-1
  組卷：647引用：16難度：0.8

  解析
• 2．兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A（2，1，1），且兩平面的一個法向量

  n

  =（-1，0，1），則兩平面間的距離是（　?。?/div>

  A． 3 2

  B． 2 2

  C． 3

  D．3 2
  組卷：439引用：17難度：0.7

  解析
• 3．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=4，AB=BC=2，動點P，Q分別在線段C₁D，AC上，則線段PQ長度的最小值是（　?。?/div>

  A． 2 2 3

  B． 2 3 3

  C． 4 3

  D． 2 5 3
  組卷：171引用：8難度：0.4

  解析
• 4．如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點E在棱PA上，且PE=2EA，則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為（　　）

  A． 2 3

  B． 6 6

  C． 3 3

  D． 6 3
  組卷：161難度：0.7

  解析
• 5．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱上到直線A₁B與CC₁的距離相等的點有4個，其中3個點分別為E，F，D₁，如圖所示，則直線AC₁與平面EFD₁所成角的正弦值為（　?。?/div>

  A． 26 13

  B． 2 26 13

  C． 2 78 39

  D． 4 78 39
  組卷：25引用：6難度：0.4

  解析

四、解答題

• 15．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點C在平面α上，所有頂點都在平面α的同一側，且滿足A₁B和A₁D與平面α所成角均為

  π

  3

  ．
  （Ⅰ）求證：BD∥平面α；
  （Ⅱ）求直線B₁D與平面α所成角的余弦值．
  組卷：122引用：2難度：0.8

  解析
• 16．四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=3，BC=2AB=2，E，F分別在BC，AD上，EF∥AB．現將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
  （Ⅰ）若BE=

  1

  2

  ，在折疊后的線段AD上是否存在一點P，且

  AP

  =

  λ

  PD

  ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由；
  （Ⅱ）求三棱錐A-CDF的體積的最大值，并求此時二面角E-AC-F的余弦值．
  組卷：66引用：2難度：0.3

  解析