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2023-2024學(xué)年湖南省長沙市長郡中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（二）

發(fā)布：2024/9/1 5:0:10

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．若集合A={x|x=4k-1，k∈N}，B={x|（x+1）（x-9）≤0}，則A∩B的元素個數(shù)為（　?。?/h2>
A．2 B．3 C．4 D．5
組卷：52引用：3難度：0.7
解析
2．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)
1
-
i
2023
ai
的虛部為3（其中i為虛數(shù)單位），則a=（　　）
A．
-
1
3
B．-3 C．
1
3
D．3
組卷：119引用：8難度：0.8
解析
3．已知非零向量
a
，
b
滿足
b
=（
3
，1），＜
a
，
b
＞=
π
3
，若（
a
-
b
）⊥
a
，則向量
a
在向量
b
方向上的投影向量為（　　）
A．
1
4
b
B．
1
2
b
C．
3
2
b
D．
b
組卷：472引用：7難度：0.7
解析
4．設(shè)拋物線C：x²=2py的焦點為F，M（x,4）在C上，|MF|=5，則C的方程為（　　）
A．x²=4y B．x²=-4y C．x²=-2y D．x²=2y
組卷：330引用：6難度：0.9
解析
5．若函數(shù)f（x）=e^x-a+1-x在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（　?。?/h2>
A．（-∞，-1] B．（-∞，1） C．[0，+∞） D．（-∞，1]
組卷：83引用：2難度：0.6
解析
6．直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點，則“k=1”是“△OAB的面積為
1
2
”的（　?。?/h2>
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
組卷：187引用：6難度：0.9
解析
7．已知
α
∈
（
0
，
π
2
）
，且
2
cos
2
α
=
sin
（
α
+
π
4
）
，則sin2α=（　　）
A．
-
3
4
B．
3
4
C．-1 D．1
組卷：578引用：8難度：0.8
解析

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．已知橢圓
C
：
x
2
6
+
y
2
b
2
=
1
（
b
＞
0
）
的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，C是橢圓的中心，點M為其上的一點滿足|MF₁|?|MF₂|=5，|MC|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)定點T（t,0），過點T的直線l交橢圓C于P，Q兩點，若在C上存在一點A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值，求t的范圍．
組卷：172引用：4難度：0.2
解析
22．已知函數(shù)
f
（
x
）
=
alnx
+
1
2
x
2
-
（
a
+
1
）
x
+
3
2
（
a
≠
0
）
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，若f（x₁）+f（x₂）=0，求證：x₁+x₂≥2；
（3）求證：對于任意n∈N^*都有
2
ln
（
n
+
1
）
+
n
∑
i
=
1
（
i
-
1
i
）
2
＞
n
．
組卷：574引用：12難度：0.1
解析