2021-2022學(xué)年上海市嘉定一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題。（本大題滿分36分，本大題共有12題）

• 1．從{1，2，3，4}中隨機(jī)選一個數(shù)a,從{1，2，3}中隨機(jī)選取一個數(shù)b,則b＞a的概率是

   

  ．
  組卷：41引用：6難度：0.7

  解析

• 2．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為AA₁，AB的中點，則EF與面A₁C₁CA所成的角是：

  ．
  組卷：38引用：3難度：0.7

  解析

• 3．已知三角棱O-ABC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MN=2GN，設(shè)

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，則

  OG

  =

  （用基底（

  a

  ，

  b

  ，

  c

  ）表示）
  組卷：109引用：2難度：0.7

  解析

• 4．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是C₁C的中點，O是底面ABCD的中心，P是A₁B₁上的任意點，則直線BM與OP所成的角為

  ．
  組卷：146引用：14難度：0.7

  解析

• 5．已知一組數(shù)據(jù)4，2a,3-a,5，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差是
  組卷：118引用：2難度：0.8

  解析

• 6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n+n,則a_n=

  ．
  組卷：66引用：9難度：0.7

  解析

• 7．對于空間三條直線，有下列四個條件：
  ①三條直線兩兩相交且不共點：
  ②三條直線兩兩平行；
  ③三條直線共點；
  ④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．
  其中，使三條直線共面的充分條件有

  ．
  組卷：75引用：7難度：0.7

  解析

三、解答題。（本大題滿分52分，本大題共有5題）

• 20．為了求一個棱長為

  2

  的正四面體的體積，某同學(xué)設(shè)計如下解法．
  解：構(gòu)造一個棱長為1的正方體，如圖1：則四面體ACB₁D₁為棱長是

  2

  的正四面體，且有

  V

  四面體

  AC

  B

  1

  D

  1

  =

  V

  正方體

  -

  V

  B

  -

  AC

  B

  1

  -

  V

  A

  1

  -

  A

  B

  1

  D

  1

  -

  V

  C

  1

  -

  B

  1

  C

  D

  1

  -

  V

  D

  -

  AC

  D

  1

  =

  1

  3

  V

  正方體

  =

  1

  3

  ．
  
  （1）類似此解法，如圖2，一個相對棱長都相等的四面體，其三組棱長分別為

  5

  ，

  13

  ，

  10

  ，求此四面體的體積：
  （2）對棱分別相等的四面體ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC．求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形；
  （3）有4條長為2的線段和2條長為m的線段，用這6條線段作為棱且長度為m的線段不相鄰，構(gòu)成一個三棱錐，問m為何值時，構(gòu)成三棱錐體積最大，最大值為多少？
  [參考公式：三元均值不等式

  3

  abc

  ≤

  a

  +

  b

  +

  c

  3

  （

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ＞

  0

  ）

  及變形

  abc

  ≤

  （

  a

  +

  b

  +

  c

  3

  ）

  3

  （

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ＞

  0

  ）

  ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取得等號]
  組卷：112引用：2難度：0.4

  解析

• 21．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1-2S_n=1（n∈N*）
  （1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
  （2）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b_n+1=

  b

  n

  2

  +

  1

  a

  n

  +

  1

  ．
  ①求數(shù)列{b_n}的通項公式；
  ②是否存在正整數(shù)n,使得

  n

  ∑

  i

  =

  1

  b

  i

  =4-n成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：137引用：12難度：0.7

  解析