2023-2024學(xué)年湖南省常德一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）

• 1．直線3x+2y-1=0的一個(gè)方向向量是（　?。?/div>

  A．（2，-3）

  B．（2，3）

  C．（-3，2）

  D．（3，2）
  組卷：1773引用：35難度：0.9

  解析
• 2．設(shè)

  a

  =（1，-2，3），

  b

  =（-3，1，2），k

  a

  +

  b

  與

  b

  垂直，則k等于（　?。?/div>

  A．6

  B．14

  C．-14

  D．-6
  組卷：133引用：5難度：0.8

  解析
• 3．已知焦點(diǎn)順x軸上的雙曲線的焦距為

  2

  3

  ，焦點(diǎn)到漸近線的距離為

  2

  ，則雙曲線的方程為（　?。?/div>

  A． x 2 2 - y 2 = 1

  B． x 2 - y 2 2 = 1

  C． y 2 - x 2 2 = 1

  D． y 2 2 - x 2 = 1
  組卷：101引用：7難度：0.8

  解析
• 4．設(shè)O-ABC是正三棱錐，G₁是△ABC的重心，G是OG₁上的一點(diǎn)，且OG=3GG₁，若

  OG

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  +

  z

  OC

  ，則x+y+z=（　?。?/div>

  A． 1 4

  B． 1 2

  C． 3 4

  D．1
  組卷：286引用：9難度：0.7

  解析
• 5．若直線l：ax+by+1=0始終平分圓M：x²+y²+4x+2y+1=0的周長(zhǎng)，則（a-2）²+（b-2）²的最小值為（　?。?/div>

  A． 5

  B．5

  C．2 5

  D．10
  組卷：1076引用：32難度：0.9

  解析
• 6．過(guò)點(diǎn)P（0，3）的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=4交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)∠CAB=30°時(shí)，直線l的斜率為（　?。?/div>

  A．± 3 3

  B． 3 3

  C． ± 3

  D． 3
  組卷：70引用：5難度：0.5

  解析
• 7．在如圖3的正方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=3，點(diǎn)M是側(cè)面BCC'B'內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足AM⊥BD'，設(shè)AM與平面BCC'B'所成角為θ，則tanθ的最大值為（　　）

  A． 2 2

  B． 2

  C． 4 3

  D． 3 4
  組卷：472引用：5難度：0.5

  解析

四、解答題（共6個(gè)大題，第17題10分，其余各題每題12分，共70分）

• 21．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點(diǎn)．把△ADE沿AE翻折，使得平面ADE⊥平面ABCE．
  
  （Ⅰ）求證：AD⊥BE；
  （Ⅱ）求BD所在直線與平面DEC所成角的正弦值．
  組卷：213引用：2難度：0.5

  解析
• 22．已知橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的離心率為

  1

  2

  ，且其長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6，直線y=k₁x,y=k₂x與橢圓E分別交于點(diǎn)A，B，C，D，且k₁+k₂=-12．
  （1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）求四邊形ACBD面積的最大值．
  組卷：30引用：1難度：0.5

  解析