2023-2024學年湖南省長沙市長郡中學高三（上）月考數(shù)學試卷（三）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．已知集合A={x|x²-4x+3＜0}，B={x|lnx≤1}，則A∩B=（　　）

  A．（1，e]

  B．[1，3]

  C．（0，e]

  D．（0，3]
  組卷：24引用：2難度：0.8

  解析

• 2．若i是虛數(shù)單位，則復數(shù)

  2

  +

  3

  i

  1

  +

  i

  的實部與虛部之積為（　?。?/h2>

  A． - 5 4

  B． 5 4

  C． 5 4 i

  D． - 5 4 i
  組卷：654引用：5難度：0.9

  解析

• 3．函數(shù)y=2sin（

  πx

  6

  -

  π

  3

  ）（0≤x≤9）的最大值與最小值之差為（　?。?/h2>

  A．2+ 3

  B．4

  C．3

  D．2- 3
  組卷：145引用：9難度：0.9

  解析

• 4．已知函數(shù)f（x）=lg（x²-4x-5）在（a,+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（2，+∞）

  B．[2，+∞）

  C．（5，+∞）

  D．[5，+∞）
  組卷：5164引用：20難度：0.6

  解析

• 5．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，則C的離心率為（　?。?/h2>

  A． 7

  B． 13

  C． 7 2

  D． 13 2
  組卷：2511引用：35難度：0.7

  解析

• 6．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖，將一個正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點的兩個正三角形所在平面的夾角正切值為（　　）

  A． 2 2

  B．1

  C． 2

  D．2 2
  組卷：167引用：3難度：0.5

  解析

• 7．設正實數(shù)x、y、z滿足4x²-3xy+y²-z=0，則

  xy

  z

  的最大值為（　?。?/h2>

  A．0

  B．2

  C．1

  D．3
  組卷：464引用：4難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．對于橢圓：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，我們稱雙曲線：

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  為其伴隨雙曲線．已知橢圓C：

  y

  2

  3

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  0

  ＜

  b

  ＜

  3

  ），它的離心率是其伴隨雙曲線Γ離心率的

  2

  2

  倍．
  （1）求橢圓C伴隨雙曲線Γ的方程；
  （2）如圖，點E，F(xiàn)分別為Γ的下頂點和上焦點，過F的直線l與Γ上支交于A，B兩點，設△ABO的面積為S，∠AOB=θ（其中O為坐標原點）．若△ABE的面積為

  6

  +

  3

  3

  ，求

  S

  tanθ

  ．
  組卷：112引用：6難度：0.4

  解析

• 22．已知函數(shù)f（x）=ae^x-sinx-1，其中a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
  （1）當a=1時，證明：對?x∈[0，+∞），f（x）≥0；
  （2）若函數(shù)f（x）在（0，

  π

  2

  ）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍．
  組卷：175引用：5難度：0.4

  解析