2022-2023學(xué)年江蘇省南京市秦淮區(qū)中華中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  4

  ）

  ，

  a

  -

  b

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，則

  a

  ?

  b

  =（　　）

  A．5

  B．14

  C．-6

  D． 2 2
  組卷：103引用：1難度：0.5

  解析

• 2．已知

  cosα

  =

  1

  3

  ，則sinαsin2α=（　?。?/h2>

  A． 1 27

  B． 2 27

  C． 8 27

  D． 16 27
  組卷：108引用：1難度：0.8

  解析

• 3．為了測(cè)量垂直于地面的兩座塔塔尖之間的距離，某數(shù)學(xué)建模活動(dòng)小組構(gòu)建了如圖所示的幾何模型．若AC=40

  2

  米，BC=80

  3

  ，∠MCA=45°，∠NCB=30°，∠MCN=120°，則塔尖MN之間的距離為（　?。┟祝?/h2>

  A．80

  B．120

  C． 80 5

  D． 80 7
  組卷：70引用：4難度：0.6

  解析

• 4．在△ABC中，

  cos

  A

  =

  4

  5

  ，

  tan

  （

  A

  -

  B

  ）

  =

  1

  3

  ，則tanB=（　　）

  A． 1 3

  B． 9 13

  C． 9 5

  D． 5 9
  組卷：100引用：3難度：0.8

  解析

• 5．在△ABC中，D為線段BC上一點(diǎn)，且AE=2ED，若

  ED

  =

  x

  AB

  +

  y

  AC

  ，則

  1

  x

  +

  9

  y

  的最小值為（　　）

  A． 16 3

  B．16

  C．48

  D．60
  組卷：198引用：1難度：0.6

  解析

• 6．已知

  0

  ＜

  β

  ＜

  α

  ＜

  π

  2

  ，且

  cos

  （

  α

  -

  β

  ）

  =

  12

  13

  ，

  cos

  2

  β

  =

  3

  5

  ，則sin（α+β）=（　　）

  A． 63 65

  B． 33 65

  C． 48 65

  D． 16 65
  組卷：201引用：3難度：0.6

  解析

• 7．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=1，2a-c=2cosC，則△ABC周長(zhǎng)的最大值為（　?。?/h2>

  A． 3 + 1

  B． 2 3 3 + 1

  C．3

  D． 3 - 3
  組卷：99引用：1難度：0.5

  解析

四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

• 21．“我將來(lái)要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥地里玩，幾千萬(wàn)的小孩子，附近沒(méi)有一個(gè)大人，我是說(shuō)……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無(wú)垠的麥田．假設(shè)霍爾頓在一塊凸四邊形ABCD的麥田里成為守望者，為了分割麥田，他將AC連結(jié)，經(jīng)測(cè)量AD=DC=2，AB=1，BC=3．霍爾頓發(fā)現(xiàn)無(wú)論AC多長(zhǎng)，3cosB-4cosD是定值．霍爾頓還發(fā)現(xiàn)麥田的生長(zhǎng)與土地面積的平方和相關(guān)，記△ABC和△ADC的面積分別為S₁和S₂，為了更好地規(guī)劃麥田，霍爾頓需要求出

  S

  2

  1

  +

  S

  2

  2

  的最大值．請(qǐng)你幫助霍爾頓解決以下問(wèn)題：
  （1）求出3cosB-4cosD的值；
  （2）求

  S

  2

  1

  +

  S

  2

  2

  的最大值．
  組卷：43引用：1難度：0.6

  解析

• 22．在直角△ABC中，∠C=90°，AB=2AC=4，M為AB的中點(diǎn)，P，Q分別為線段AC，BC上異于C，B的動(dòng)點(diǎn)，且∠PMQ=120°．
  （1）當(dāng)∠MQB=120°時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；
  （2）若N為PQ的中點(diǎn)，設(shè)∠MQB=θ（90°＜θ＜120°），求

  MN

  2

  -

  NP

  2

  的取值范圍．
  組卷：58引用：1難度：0.5

  解析