已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3m）（m＞0），頂點(diǎn)為D．
（1）如圖1，當(dāng)m=1時，
①求該二次函數(shù)的解析式；
②點(diǎn)P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個動點(diǎn)，連接AC、OP相交于點(diǎn)Q，求PQOQ的最大值；
（2）如圖2，當(dāng)m取何值時，以A、D、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．
PQ
OQ
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）①拋物線的解析式為：y=mx2+2mx-3m；②當(dāng)x=-時，PQ的最大值為；（2）當(dāng)m=1時，以A、D、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．
3
2
3
4
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/7/8 8:0:10組卷：840引用：2難度：0.3
相似題
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1．定義：與坐標(biāo)軸不重合的直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)（A、B不重合），若拋物線L過點(diǎn)A，點(diǎn)B，則稱此拋物線為直線的“友誼線”
（1）若拋物線L為直線y=-x+3的“友誼線”，且過點(diǎn)（-1，0），求此拋物線的解析式；
（2）已知直線y=kx+b的“友誼線”為y=-x2+12x+1，且直線與雙曲線y=12交于M，N，求線段MN的長；2x
（3）若有直線y=mx+n,且m+n=1，對任意的非零實(shí)數(shù)a,一定存在其“友誼線”為拋物線L：y=ax2+bx+c,求b的取值范圍．發(fā)布：2025/6/22 1:0:1組卷：587引用：5難度：0.4 -
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+
x+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其中A（-233，0），tan∠ACO=3．33
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接AD、BC交于點(diǎn)E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求的最大值；S1S2
（3）如圖2，將拋物線沿射線CB方向平移，點(diǎn)C平移至C′處，且OC′=OC，動點(diǎn)M在平移后拋物線的對稱軸上，當(dāng)△C′BM為以C′B為腰的等腰三角形時，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
發(fā)布：2025/6/22 1:0:1組卷：1858引用：4難度：0.1 -
3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0），D（-1，0），E（0，3），頂點(diǎn)為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）假設(shè)點(diǎn)S是直線AE上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)S作SG⊥AE，求當(dāng)SG取得最大值時，點(diǎn)S的坐標(biāo)；
（3）連接AB、AE、BE，設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△AOE與△ABE重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．
發(fā)布：2025/6/22 1:0:1組卷：83引用：1難度：0.2