在平面上畫互相垂直的兩組平行線，相鄰平行線的距離都等于1，這兩組平行線的交點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為“格點(diǎn)三角形”，如圖1．關(guān)于格點(diǎn)三角形的面積S，有一個(gè)著名的Pick定理：S=I+12B-1，其中I，B分別表示三角形內(nèi)部與周界上的格點(diǎn)數(shù)．
（1）閱讀
我們把互相垂直的其中兩對(duì)平行線圍成的矩形稱為“格點(diǎn)矩形”，如圖2，可驗(yàn)證Pick定理對(duì)格點(diǎn)矩形成立．設(shè)矩形ABCD的邊AB，AD上分別有m,n個(gè)格點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），并記矩形內(nèi)部和周界上的格點(diǎn)數(shù)分別為I0，B0，則I0=mn,B0=2（m+n）+4，AB=m+1，AD=n+1.I0+12B0-1=mn+12[2（m+n）+4]-1=mn+m+n+1=（m+1）（n+1） =SABCD.
完成下列兩題的證明
（2）任何一個(gè)格點(diǎn)三角形都可以內(nèi)接在一個(gè)格點(diǎn)矩形中，使三角形至少有一個(gè)頂點(diǎn)恰好是矩形的頂點(diǎn)．
圖3是最簡(jiǎn)單的情形．設(shè)邊AC上的格點(diǎn)數(shù)為k（不包括端點(diǎn)），請(qǐng)用I0，B0和k分別表示△ABC內(nèi)部和周界上的格點(diǎn)數(shù)，并利用（1）的結(jié)論證明：對(duì)于△ABC，Pick定理成立．
（3）請(qǐng)利用（2）的結(jié)論證明：對(duì)于圖4所示的△ABC，Pick定理也成立．
S
=
I
+
1
2
B
-
1
I 0 + 1 2 B 0 - 1 = mn + 1 2 [ 2 （ m + n ） + 4 ] - 1 = mn + m + n + 1 = （ m + 1 ） （ n + 1 ） |
= S ABCD . |
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：37引用：1難度：0.5
相似題
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1．如圖，在正方形ABCD中，E、F是射線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°，射線AE、AF分別交BC、CD延長線于G、H，連接EC；在下列結(jié)論中：①AE=CE；②BG=GH+DH；③EF2=BE2+DF2；④若AB=3DH，則CD=2CG，⑤S△AGH：S△BCD=GH：AB：其中正確的結(jié)論有（ ?。?/h2>發(fā)布：2025/6/5 5:30:2組卷：1171引用：6難度：0.1 -
2．如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE對(duì)折后與∠MAE沿著AE對(duì)折后與∠MAE重合．
（1）證明：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2所示，（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出判斷，不需要證明．
發(fā)布：2025/6/5 5:30:2組卷：24引用：1難度：0.5 -
3．點(diǎn)O為正方形ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E為直線BD上一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)O不重合），連結(jié)AE．
（1）如圖1，若點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)，AB=，求△ABE的面積；2
（2）如圖2，若點(diǎn)E在線段OD上，過點(diǎn)E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H．過點(diǎn)F作FG∥AE交BD于點(diǎn)G．求證：FG+FH=AE；
（3）若點(diǎn)E為直線BD上一動(dòng)點(diǎn)，其它條件與（2）問條件不變．請(qǐng)寫出線段DE，BG，CH之間的數(shù)量關(guān)系．
發(fā)布：2025/6/5 5:30:2組卷：374引用：3難度：0.3