【問題再現(xiàn)】：
（1）如圖1，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，連接AE，CF．若再增加一個(gè)條件，便可證明出AE=CF．
針對(duì)上述問題，小明添加的條件是“DE=BF”；小強(qiáng)添加的條件是“AE∥CF”．請(qǐng)你替小明或小強(qiáng)完成證明過程；（即任選其中一種方法證明）
【問題探究】：
（2）如圖2，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B的直線與對(duì)角線AC交于點(diǎn)P，分別過點(diǎn)A，C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF．
①求證：OE=OF；
②若∠OEF=30°，探究AE，CF，OE間的等量關(guān)系，并證明；
【問題拓廣】：
（3）如圖3，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B的直線與對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，分別過點(diǎn)A，C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF．若∠OEF的度數(shù)記為α，請(qǐng)寫出AE，CF，OE間的等量關(guān)系，并證明．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見解析過程；
（2）①證明見解析過程；
②CF=OE+AE，證明見解析過程；
（3）CF=2OE?sinα-AE，證明見解析過程．
（2）①證明見解析過程；
②CF=OE+AE，證明見解析過程；
（3）CF=2OE?sinα-AE，證明見解析過程．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/21 22:0:1組卷：168引用：3難度：0.1
相似題
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1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，以點(diǎn)D為圓心，DG長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，在EB上截取EF=ED，連接FG．證明：四邊形DEFG是菱形；
（2）在（1）條件下，求出能作出菱形時(shí)所對(duì)應(yīng)CD長(zhǎng)度的取值范圍；
（3）如圖2，連接BD，作DQ⊥BD交AB于點(diǎn)Q，求AQ的最大值．
發(fā)布：2025/5/22 5:0:1組卷：143引用：2難度：0.3 -
2．已知，如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．
（1）如圖1，若DG=2，求證四邊形EFGH為正方形；
（2）如圖2，若DG=4，求△FCG的面積；
（3）當(dāng)DG為何值時(shí)，△FCG的面積最小．發(fā)布：2025/5/22 6:0:1組卷：348引用：2難度：0.2 -
3．綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問題并解答．
問題情境：在?ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)．將△PDC沿直線PC折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．
“興趣小組”提出的問題是：如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)E作EF∥AD，與PC交于點(diǎn)F，連接DF，則四邊形AEFD是菱形．
數(shù)學(xué)思考：
（1）請(qǐng)你證明“興趣小組”提出的問題；
拓展探究：
（2）“智慧小組”提出的問題是：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，連接PF．試判斷PF與PC的位置關(guān)系，并說明理由．
請(qǐng)你幫助他們解決此問題．
問題解決：
“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上時(shí)，AP=3，PD=4，DC=10．則AE的長(zhǎng)為 ．（直接寫出結(jié)果）
發(fā)布：2025/5/22 6:0:1組卷：509引用：5難度：0.1
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