各種加速器在裝置上的類似性，源于它們在原理上的類似性。
（1）我們熟知經(jīng)典回旋加速器如圖（甲）所示，帶電粒子從M處經(jīng)狹縫中的高頻交流電壓加速，進(jìn)入與盒面垂直的勻強磁場的兩個D形盒中做圓周運動，循環(huán)往復(fù)不斷被加速，最終離開加速器。另一種同步加速器，基本原理可以簡化為如圖（乙）所示模型，帶電粒子從M板進(jìn)入高壓縫隙被加速，離開N板時；兩板的電荷量均立即變?yōu)榱?；離開N板后，在勻強磁場的導(dǎo)引控制下回旋反復(fù)通過加速電場區(qū)不斷加速，但帶電粒子的旋轉(zhuǎn)半徑始終保持不變。已知帶電粒子A的電荷量為+q,質(zhì)量為m,帶電粒子第一次進(jìn)入磁場區(qū)時，兩種加速器的磁場均為B₀，加速時狹縫間電壓大小都恒為U，設(shè)帶電粒子最初進(jìn)入狹縫時的初速度為零，不計粒子受到的重力，不計粒子加速時間及其做圓周運動產(chǎn)生的電磁輻射，不考慮磁場變化對粒子速度的影響及相對論效應(yīng)。

a.經(jīng)典回旋加速器，帶電粒子在不斷被加速后，其在磁場中的旋轉(zhuǎn)半徑也會不斷增加，求加速n次后，r_n的大小；
b.同步加速器因其旋轉(zhuǎn)半徑R始終保持不變，因此磁場必須周期性遞增，請推導(dǎo)B_n的表達(dá)式；
（2）空間存在有一圓柱形的半徑為r的勻強磁場區(qū)域，其橫截面如圖2所示，磁感應(yīng)強度隨時間按照圖3所示的規(guī)律均勻變化。圖中B₀和t₀為已知量。
a.用電阻為R的細(xì)導(dǎo)線做成半徑為r的圓環(huán)（圖中未畫出），圓環(huán)平面垂直于該磁場，圓環(huán)的中心與磁場中心重合。圓環(huán)半徑小于該磁場的橫截面半徑。求0～t₀時間內(nèi)圓環(huán)中產(chǎn)生的焦耳熱Q。
b.現(xiàn)將導(dǎo)體圓環(huán)替換成一個用絕緣細(xì)管做成的半徑為r的封閉圓形管道，且圓形管道的中心與磁場區(qū)域的中心重合（圖中未畫出）。管道內(nèi)有一小球，小球質(zhì)量為m,帶電量為+q。忽略小球的重力和一切阻力。t=0時小球靜止。求t=t₀時小球運動的圈數(shù)。