3.蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一,如圖1所示.蜂房結構是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐H-ABC,J-CDE,K-EFA,再分別以AC,CE,EA為軸將△ACH,△CEJ,△EAK分別向上翻轉180°,使H,J,K三點重合為點S所圍成的曲頂多面體(下底面開口),如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫,定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和,而每一頂點的曲率規(guī)定等于2π減去蜂房多面體在該點的各個面角之和(多面體的面角是多面體的面的內角,用弧度制表示).例如:正四面體在每個頂點有3個面角,每個面角是
,所以正四面體在各頂點的曲率為
.
(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度;
(2)若正六棱柱底面邊長為1,側棱長為2,設BH=x
(i)用x表示蜂房(圖2右側多面體)的表面積S(x);
(ii)當蜂房表面積最小時,求其頂點S的曲率的余弦值.