2021年5月，“天問一號(hào)”探測(cè)器成功在火星軟著陸，我國(guó)成為世界上第一個(gè)首次探測(cè)火星就實(shí)現(xiàn)“繞、落、巡”三項(xiàng)任務(wù)的國(guó)家。
（1）為了簡(jiǎn)化問題，可以認(rèn)為地球和火星在同一平面上繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。已知地球的公轉(zhuǎn)周期為T₁，火星的公轉(zhuǎn)周期為T₂。
a.已知地球公轉(zhuǎn)軌道半徑為r₁，求火星公轉(zhuǎn)軌道半徑r₂。
b.考慮到飛行時(shí)間和節(jié)省燃料，地球和火星處于圖1中相對(duì)位置時(shí)是在地球上發(fā)射火星探測(cè)器的最佳時(shí)機(jī)，推導(dǎo)在地球上相鄰兩次發(fā)射火星探測(cè)器最佳時(shí)機(jī)的時(shí)間間隔Δt。
（2）火星探測(cè)器在火星附近的A點(diǎn)減速后，被火星捕獲進(jìn)入了1號(hào)橢圓軌道，緊接著在B點(diǎn)進(jìn)行了一次“遠(yuǎn)火點(diǎn)平面機(jī)動(dòng)”，俗稱“側(cè)手翻”，即從與火星赤道平行的1號(hào)軌道，調(diào)整為經(jīng)過火星兩極的2號(hào)軌道，將探測(cè)器繞火星飛行的路線從“橫著繞”變成“豎著繞”，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)火星表面的全面掃描，如圖2所示。以火星為參考系，質(zhì)量為M₁的探測(cè)器沿1號(hào)軌道到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為v₁，為了實(shí)現(xiàn)“側(cè)手翻”，此時(shí)啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)，在極短的時(shí)間內(nèi)噴出部分氣體，假設(shè)氣體為一次性噴出，噴氣后探測(cè)器質(zhì)量變?yōu)镸₂、速度變?yōu)関₁與垂直的v₂。
a.求噴出氣體速度v的大小。
b.假設(shè)實(shí)現(xiàn)“側(cè)手翻”的能量全部來源于化學(xué)能，化學(xué)能向動(dòng)能轉(zhuǎn)化比例為k（k＜1），求此次“側(cè)手翻”消耗的化學(xué)能ΔE。