定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．
（1）圖①，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．
①若CD=3，AC⊥CD于點C，求AD的長；
②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的長；
（2）圖②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，點P是對角線BD上的一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，要使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）①；
②4+4，
（2）12．
41
②4+4
2
（2）12．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：530引用：4難度：0.3
相似題
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1．我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β=180°時，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．
特例感知：
（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”．
①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=BC；
②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為 ．
猜想論證：
（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
拓展應(yīng)用
（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點P，使△PDC是△PAB的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補中線”長；若不存在，說明理由．3
發(fā)布：2025/5/22 18:30:2組卷：3823引用：11難度：0.1 -
2．在數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)課上，同學(xué)們對平行四邊形進(jìn)行了深入探究．
探究一：如圖1，在矩形ABCD中，AC2=AB2+BC2，BD2=AC2=CD2+AD2，則AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出結(jié)論：矩形兩條對角線的平方和等于其四邊的平方和．
探究二：對于一般的平行四邊形，是否仍有上面的結(jié)論呢？
證明：如圖2，在?ABCD中，過A作AM⊥BC于M，過D作DN⊥BC，交BC延長線于N．設(shè)AB=a,BC=b,BM=x,AM=y,
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABC=∠DCN，
又∵∠AMB=∠DNC=90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN=BM=x,DN=AM=y.
請你接著完成上面的證明過程．
結(jié)論應(yīng)用：若一平行四邊形的周長為20，兩條對角線長分別為8，2，求該平行四邊形的四條邊長．10
發(fā)布：2025/5/22 18:30:2組卷：223引用：1難度：0.5 -
3．問題情?境
如圖，在四邊形ABCD中，連接BD，∠ABD=∠BCD=90°，∠ADB=30°，∠BDC=45°，AB=2，點E為AD的中點，連接CE．以點D為中心，順時針旋轉(zhuǎn)△DEC，得到△DGF，點E，C的對應(yīng)點分別為點G，F(xiàn)．
問題探究
（1）如圖①，則CE的長為 ；
（2）如圖②，在△DFG旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，F(xiàn)，G三點共線時，求△ABF的面積；
（3）如圖③，在△DFG旋轉(zhuǎn)過程中，連接AF，AG，直接寫出△AFG面積的最大值．
發(fā)布：2025/5/22 18:30:2組卷：315引用：1難度：0.1
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