[問題初探]
（1）如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，試判斷EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，聰明的小明是這樣做的：把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使得AB與AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即點F、D、G共線，易證△AFG≌△AFE△AFE，故EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系為 EF=BE+DFEF=BE+DF．
[類比探究]
（2）如圖2，點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)容易探究得出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，探究思路及結(jié)果如下：
在DC上截取DH=BE，連接AH，易證△ABE≌△ADH△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，可以證明∴△EAF≌△HAF△HAF，∴EF=FHFH，∵FD=FH+DH，∴EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系為DF=EF+BEEF+BE．
[聯(lián)想拓展]
（3）如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=32．點E、F均在邊BC上，且∠EAF=45°，若BE=2，求CF的長．
2
【考點】四邊形綜合題．
【答案】△AFE；EF=BE+DF；△ADH；△HAF；FH；EF+BE
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/15 8:0:9組卷：393引用：2難度：0.3
相似題
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1．在五邊形ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，△ADE是以E為直角頂點的等腰直角三角形．CE與AD交于點G，將直線EC繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45°交AD于點F．
（1）求證：∠AEF=∠DCE；
（2）判斷線段AB，AF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若FG=CG，且AB=2，求線段BC的長．發(fā)布：2025/5/24 8:0:1組卷：328引用：2難度：0.2 -
2．[問題提出]
正多邊形內(nèi)任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？
[問題探究]
如圖①，△ABC是等邊三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點，P到△ABC各邊距離PF、PE、PD分別為h1、h2、h3，設(shè)△ABC的邊長是a,面積為S．過點O作OM⊥AB．
∴OM=Rcos∠AOB=Rcos60°，AM=Rsin12∠AOB=Rsin60°，AB=2AM=2Rsin60°12
∴S△ABC=3S△AOB=3×AB×OM=3R2sin60°cos60°①12
∵S△ABC又可以表示為a（h1+h2+h3）②12
聯(lián)立①②得a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
[問題解決]
如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點，P到△ABC各邊距PH、PM、PN、PI、PL分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的分析過程，探究h1+h2+h3+h4+h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．
[性質(zhì)應(yīng)用]
（1）正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和h1+h2+h3+h4+h5+h6=．
（2）如圖③，正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和h1+h2+hn-1+hn=．發(fā)布：2025/5/24 8:0:1組卷：149引用：1難度：0.2 -
3．四邊形ABCD為正方形，AB=8，點E為直線BC上一點，射線AE交對角線BD于點F，交直線CD于點G．
（1）如圖，點E在BC延長線上．求證：△CFG∽△EFC；
（2）是否存在點E，使得△CFG是等腰三角形？若存在，求BE的長；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/24 7:0:1組卷：57引用：1難度：0.1