1．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁=AC=4，AB=3，點D是線段BC的中點．請用空間向量的知識解答下列問題：
（1）求證：AB⊥A₁C；
（2）求平面A₁CD和平面A₁B₁BA夾角的余弦值．

2．2023年9月23日，杭州第19屆運動會開幕式現(xiàn)場，在AP技術(shù)加持下，寄托著古今美好心愿的燈籠升騰而起，溢滿整個大蓮花場館，融匯為點點星河流向遠(yuǎn)方，繪就了一幅萬家燈火的美好圖景．燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品，經(jīng)過數(shù)千做年的發(fā)展，燈籠也發(fā)展出了不同的地域風(fēng)格，形狀也是千姿百態(tài)，每一種燈籠都具有獨特的藝術(shù)表現(xiàn)形式．現(xiàn)將一個圓柱形的燈籠切開，如圖所示，用平面BCC₁B₁表示圓柱的軸截面，BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為母線CC₁的中點，已知AA₁為一條母線，且AB=AC=AA₁=4．

（1）求證：平面AEO⊥平面AB₁O；
（2）求二面角O-AE-B₁的余弦值．

3．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（1）求證：D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)點E在棱AB的中點時，求點B₁到平面ECD₁的距離；
（3）當(dāng)AE為何值時，平面D₁EC與平面AECD所成角為．