定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)與該邊所對(duì)頂點(diǎn)連線長(zhǎng)度的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“奇點(diǎn)”．如圖1，△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，若AE2=BE?CE，則稱(chēng)點(diǎn)E是△ABC中BC邊上的“奇點(diǎn)”．
?（1）如圖2，已知，在四邊形ABCD中，BD平分AC于點(diǎn)E，∠CAD=∠CBD，求證：點(diǎn)E是△ABD中BD邊上的“奇點(diǎn)”：
（2）如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)E是△ABC中BC邊上的“奇點(diǎn)”，若∠BAE=∠CAE，求AE2AB?AC的值；
（3）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=45，BC=10，點(diǎn)E是BC邊上的“奇點(diǎn)”，求線段BE的長(zhǎng)．
A
E
2
AB
?
AC
AB
=
4
5
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）；
（3）8或5．
（2）
1
2
（3）8或5．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/1 8:0:9組卷：212引用：1難度：0.5
相似題
-
1．如圖1，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)P為斜邊AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作射線PD⊥PE，分別交AC、BC于點(diǎn)D，E．
（1）問(wèn)題產(chǎn)生
若P為AB中點(diǎn)，當(dāng)PD⊥AC，PE⊥BC時(shí)，=；PDPE
（2）問(wèn)題延伸
在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，的值是否會(huì)發(fā)生改變？如果不變，請(qǐng)證明；如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；PDPE
（3）問(wèn)題解決
如圖3，連接DE，若△PDE與△ABC相似，求BP的值．
發(fā)布：2025/6/14 0:0:1組卷：966引用：6難度：0.1 -
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，頂點(diǎn)B在第一象限，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，線段OA，OC的長(zhǎng)是一元二次方程x2-12x+36=0的兩根，BC=4，∠BAC=45°．5
（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；
（2）反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求k的值；kx
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并直接寫(xiě)出其中兩個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．發(fā)布：2025/6/14 10:30:2組卷：1994引用：7難度：0.5 -
3．從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中，一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．
（1）如圖①，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；
（3）如圖②，在△ABC中，AC=3，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng)．3
發(fā)布：2025/6/13 23:0:1組卷：439引用：2難度：0.2
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