| 【問(wèn)題】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P32第2題： 已知：如圖1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F． 求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上． 【解答】某數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)提出了如下的解題方法： 如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH⊥AE于點(diǎn)H，作FM⊥BC于點(diǎn)M，由角平分線 的性質(zhì)定理可得：FG=FM，F(xiàn)H=FM． ∴FG=FH． ∴FG⊥AD，F(xiàn)H⊥AE， ∴F在∠DAE的平分線上． |
【探究】（1）小方在研究小明的解題過(guò)程時(shí)，還發(fā)現(xiàn)圖2中BG、BC和CH三條線段存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系：
BG+CH=BC
BG+CH=BC
；（2）小明也發(fā)現(xiàn)∠BFC和∠GFH之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系：
∠BFC=∠GFH
1
2
∠BFC=∠GFH
；1
2
【應(yīng)用】如圖3，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD、BC上的點(diǎn)，且DE=1．連接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求BF的長(zhǎng)；
【拓展】如圖4，△ABC中，AB=AC=5，BC=4，△DEF中，∠EDF=∠B．將△DEF的頂點(diǎn)D放在BC邊的中點(diǎn)處，邊DF交線段AB于點(diǎn)G，邊DE交線段AC于點(diǎn)H，連接GH．現(xiàn)將△DEF繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△AGH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求出△AGH的周長(zhǎng)，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】BG+CH=BC；∠BFC=∠GFH
1
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：1042引用：1難度：0.3
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1．已知：如圖①，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=12cm,BD=16cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s,EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PC、PE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線段PE的垂直平分線上？
（2）設(shè)四邊形PCFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖②，連接PO、EO，是否存在某一時(shí)刻t,使∠POE=90°？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．發(fā)布：2025/5/22 21:0:1組卷：374引用：3難度：0.1 -
2．（1）問(wèn)題：如圖①，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD和線段CE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ．
（2）探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段BD，CD，DE之間滿足的等量關(guān)系，并證明結(jié)論；
（3）應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=12，CD=4，求AD的長(zhǎng)．
發(fā)布：2025/5/22 21:0:1組卷：348引用：2難度：0.2 -
3．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,AD=10cm,點(diǎn)P、Q分別是線段CD和AD上的動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)D向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，將PQ沿AD翻折得到QP'，連接PP'交直線AD于點(diǎn)E，連接AC、BQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），回答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AC？
（2）求四邊形BCPQ的面積S（cm2）關(guān)于時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某時(shí)刻t,使點(diǎn)Q在∠P'PD平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．發(fā)布：2025/5/22 21:0:1組卷：244引用：2難度：0.1
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