已知橢圓

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

（

a

＞

b

＞

0

）

的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．證明：

OM

?

OP

為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．