設(shè)直線l：y=k（x+1）與橢圓x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）證明：a2＞3k21+3k2；
（Ⅱ）若AC=2CB，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程．
a
2
＞
3
k
2
1
+
3
k
2
AC
=
2
CB
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，
故y=k（x+1）可化為
將代入x2+3y2=a2，消去x，
得①
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得
Δ=
化簡整理即得；
（Ⅱ）x2+3y2=5．
故y=k（x+1）可化為
x
=
1
k
y
-
1
將
x
=
1
k
y
-
1
得
（
1
k
2
+
3
）
y
2
-
2
k
y
+
1
-
a
2
=
0
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得
Δ=
（
-
2
k
）
2
-
4
（
1
k
2
+
3
）
（
1
-
a
2
）
＞
0
化簡整理即得
a
2
＞
3
k
2
1
+
3
k
2
（Ⅱ）x2+3y2=5．
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：176引用：9難度：0.1
相似題
-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點，直線l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4514引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個頂點坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為M，點B（1，0），求證：點M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6