綜合與實踐
【問題提出】
勾股定理和黃金分割是幾何學(xué)中的兩大瑰寶，其中“黃金分割”給人以美感．課本第56頁這樣定義“黃金分割點”：如圖1，點P將線段AB分成兩部分（AP＞BP），若BPAP=APAB，則稱點P為線段AB的黃金分割點，這個比值稱為黃金比．
?
【初步感知】
（1）如圖1，若AB=1，求黃金比APAB的值．
【類比探究】
（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上一點，AD將△ABC分割成兩個三角形（S△ABD＞S△ACD），若S△ACDS△ABD=S△ABDS△ABC，則稱AD為△ABC的黃金分割線．
①求證：點D是線段BC的黃金分割點；
②若△ABC的面積為4，求△ACD的面積．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，在△ABC中，D為AB上的一點（不與A，B重合），過D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于F，連接AF并延長，與DE，BC分別交于M，N．請問直線AN是△ABC的黃金分割線嗎？并說明理由．
BP
AP
=
AP
AB
AP
AB
S
△
ACD
S
△
ABD
=
S
△
ABD
S
△
ABC
【考點】相似形綜合題．
【答案】（1）黃金比的值為；
（2）①證明見解答；
②△ACD的面積是6-2；
（3）直線AN不是△ABC的黃金分割線，理由見解答．
AP
AB
5
-
1
2
（2）①證明見解答；
②△ACD的面積是6-2
5
（3）直線AN不是△ABC的黃金分割線，理由見解答．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/10/7 16:0:1組卷：233引用：2難度：0.3
相似題
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1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．點D是線段AB上的一點，連接CD．過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，給出以下四個結(jié)論：①=AGAB；②若點D是AB的中點，則AF=AFFCAB；③當(dāng)B、C、F、D四點在同一個圓上時，DF=DB；④若23=DBAD，則S△ABC=9S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是（ ?。?/h2>12發(fā)布：2025/6/24 16:30:1組卷：2783引用：11難度：0.2 -
2．如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒．
①當(dāng)t為何值時，DP⊥AC？
②設(shè)S△APQ+S△DCQ=y,寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值．發(fā)布：2025/7/1 13:0:6組卷：2103引用：6難度：0.1 -
3．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F，當(dāng)點E是BC的中點時，有AE=EF成立；
【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過驗證得出如下結(jié)論：
當(dāng)點E是直線BC上（B，C除外）任意一點時（其它條件不變），結(jié)論AE=EF仍然成立．
假如你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點”；“點E是線段BC延長線上的任意一點”；“點E是線段BC反向延長線上的任意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并證明AE=EF．
【拓展應(yīng)用】當(dāng)點E在線段BC的延長線上時，若CE=BC，在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結(jié)論求出S△ABC：S△AEF的值．
發(fā)布：2025/6/24 15:30:2組卷：1873引用：6難度：0.1