已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（0，-1），長軸長是短軸長的2倍．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過點N（2，1）且與橢圓C相交于A、B兩點（異于點M），記直線MA的斜率為k1，直線MB的斜率為k2，證明：k1+k2為定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）+y2=1；
（2）證明：若直線AB的斜率不存在，則直線l的方程為x=2，
此時直線與橢圓相切，不符合題意．
設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
聯(lián)立
，得（1+4k2）x2-8k（2k-1）x+16k2-16k=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=．
k1=，k2=，
∴k1+k2=+=
=2k-=2k-=1．
所以k1+k2為定值，且定值為1．
x
2
4
（2）證明：若直線AB的斜率不存在，則直線l的方程為x=2，
此時直線與橢圓相切，不符合題意．
設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
聯(lián)立
y = kx - 2 k + 1 |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
8
k
（
2
k
-
1
）
1
+
4
k
2
16
k
2
-
16
k
1
+
4
k
2
k1=
y
1
+
1
x
1
y
2
+
1
x
2
∴k1+k2=
y
1
+
1
x
1
y
2
+
1
x
2
x
2
（
k
x
1
-
2
k
+
2
）
+
x
1
（
k
x
2
-
2
k
+
2
）
x
1
x
2
=2k-
（
2
k
-
2
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
（
2
k
-
2
）
8
k
（
2
k
-
1
）
16
k
2
-
16
k
所以k1+k2為定值，且定值為1．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：220引用：9難度：0.5
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