焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：x2a2+y2b2=1經(jīng)過點(diǎn)（2，2），橢圓C的離心率為22．F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M為OF2的中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得λ|OP|2=|MA|?|MB|；若存在，請求出λ的值，若不存在，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
2
，
2
）
2
2
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）．
（2）若直線的斜率不存在時，|OP|=2，，
所以；
當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
聯(lián)立直線l與橢圓方程
，消去y，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-8=0，
所以
．
因?yàn)镺P∥l，設(shè)直線OP的方程為y=kx，
聯(lián)立直線OP與橢圓方程
，消去y，得（2k2+1）x2=8，解得．
∴，∴，
同理，∴|MA|?|MB|=（1+k2）|（x1-1）（x2-1）|，
因?yàn)?div dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math">
，∴x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）若直線的斜率不存在時，|OP|=2，
|
MA
|
=
|
MB
|
=
14
2
所以
|
MA
|
|
MB
|
=
7
2
=
4
λ
?
λ
=
7
8
當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
聯(lián)立直線l與橢圓方程
y = k （ x - 1 ） |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
所以
x 1 + x 2 = 4 k 2 2 k 2 + 1 |
x 1 x 2 = 2 k 2 - 8 2 k 2 + 1 |
因?yàn)镺P∥l，設(shè)直線OP的方程為y=kx，
聯(lián)立直線OP與橢圓方程
y = kx |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
x
2
=
8
2
k
2
+
1
∴
|
OP
|
2
=
x
2
+
y
2
=
（
1
+
k
2
）
8
2
k
2
+
1
|
MA
|
=
（
x
1
-
1
）
2
+
y
2
1
=
1
+
k
2
|
x
1
-
1
|
同理
|
MB
|
=
1
+
k
2
|
x
2
-
1
|
因?yàn)?div dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math">
（
1
-
x
1
）
?
（
x
2
-
1
）
=
-
[
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
]
=
7
2
k
2
+
1
|
MA
|
?
|
MB
|
=
（
1
+
k
2
）
7
2
k
2
+
1
故
7
8
|
OP
|
2
=
|
MA
|
?
|
MB
|
λ
=
7
8
綜上可得，存在
λ
=
7
8
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/7/17 8:0:9組卷：128引用：7難度：0.5
相似題
-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4568引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：371引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：460引用：3難度：0.6