問題初探：數(shù)學興趣小組在研究四邊形的旋轉(zhuǎn)時，遇到了這樣的一個問題．如圖1，四邊形ABCD和BEFG都是正方形，BH⊥AE于H，延長HB交CG于點M．通過測量發(fā)現(xiàn)CM=MG．為了證明他們的發(fā)現(xiàn)，小亮想到了這樣的證明方法：過點C作CN⊥BM于點N．他已經(jīng)證明了△ABH≌△BCN，但接下來的證明過程，他有些迷茫了．
（1）請同學們幫小亮將剩余的證明過程補充完整；
（2）深入研究：若將原題中的“正方形”改為“矩形”（如圖2所示），且ABBC=BGBE=k（其中k＞0），請直接寫出線段CM、MG的數(shù)量關(guān)系為 MG=k2CMMG=k2CM；
（3）拓展應(yīng)用：在圖3中，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=∠AED=30°，連接BD、CE，F(xiàn)為BD中點，則AF與CE的數(shù)量關(guān)系為 CE=23AFCE=23AF．
AB
BC
=
BG
BE
=
k
CE
=
2
3
AF
CE
=
2
3
AF
【考點】相似形綜合題．
【答案】MG=k2CM；
CE
=
2
3
AF
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：220引用：2難度：0.3
相似題
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1．（1）閱讀解決
華羅庚是我國著名的數(shù)學家，他推廣的優(yōu)選法，就是以黃金分割法為指導，用最可能少的試驗次數(shù)，盡快找到生產(chǎn)和科學實驗中最優(yōu)方案的一種科學試驗方法．
黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，這個比例被公認為最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．
如圖①，點B把線段AC分成兩部分，如果=BCAB，那么稱點B為線段AC的黃金分割點，它們的比值為ABAC．5-12
在圖①中，若AB=12m,則BC的長為 cm；
（2）問題解決
如圖②，用邊長為40m的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點B對應(yīng)點為H，折痕為CG．
證明：G是AB的黃金分割點；
（3）拓展探究
如圖③在邊長為m的正方形ABCD的邊AD上任取點E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點F，延長EF，CB交于點P．發(fā)現(xiàn)當PB與BC滿足某種關(guān)系時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點．請猜想這一發(fā)現(xiàn)，并說明理由，
發(fā)布：2025/5/25 8:0:2組卷：188引用：1難度：0.3 -
2．【了解概念】
在凸四邊形中，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個四邊形的鄰等邊．
【理解運用】
（1）鄰等四邊形ABCD中，∠A=30°，∠B=70°，則∠C的度數(shù)為．
（2）如圖，凸四邊形ABCD中，P為AB邊的中點，△ADP∽△PDC，判斷四邊形ABCD是否為鄰等四邊形；并證明你的結(jié)論；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐標系中，AB為鄰等四邊形ABCD的鄰等邊，且AB邊與x軸重合，已知A（-1，0），C（m,2），D（2，33），若在邊AB上使∠DPC=∠BAD的點P有且僅有1個，請直接寫出m的值．3發(fā)布：2025/5/25 5:30:2組卷：860引用：3難度：0.3 -
3．如圖，在直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3．動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發(fā)，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動．當兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，解答下列問題：
（1）求點N的坐標（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）設(shè)△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達式；當x為何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/25 2:30:1組卷：4642引用：26難度：0.5