如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于A（-2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PN⊥x軸于N，交直線BC于M．
（1）求二次函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)PM=MN時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，連接AP交對(duì)稱軸于E，連接BP并延長(zhǎng)交對(duì)稱軸于F，證明HE+HF的值為定值，并求出這個(gè)定值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
（2）當(dāng)PM=MN時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；
（3）見解析，這個(gè)定值為9．
y
=
-
1
2
x
2
+
x
+
4
（
1
，
9
2
）
（2）當(dāng)PM=MN時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；
（3）見解析，這個(gè)定值為9．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/1 8:0:9組卷：145引用：2難度：0.2
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1．如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且OA=2OB，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，拋物線對(duì)稱軸為直線x=
，D為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m.12
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)線段DF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)O，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 11:30:2組卷：4850引用：18難度：0.4 -
2．如圖，拋物線y=ax2+bx+2交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，作直線BC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PC+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)N，若線段MN與拋物線和直線BC都存在交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．發(fā)布：2025/5/23 11:30:2組卷：366引用：6難度：0.4 -
3．如圖，二次函數(shù)y=ax2-3ax-4a（a＞0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．
（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ；
（2）若DE=，求拋物線y=ax2-3ax-4a（a＞0）的表達(dá)式；158
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)G是第一象限內(nèi)拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，且∠BGC=∠BCO，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/5/23 12:0:2組卷：379引用：2難度：0.1
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