已知橢圓C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求直線ON的斜率k_ON；
（2）對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)M，試證：總存在θ，使得等式

OM

=cosθ?

OA

+sinθ?

OB

成立．

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．

【答案】（1）-；
（2）證明：顯然與是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，
由平面向量的基本定理知，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，
有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得等式=λ+μ成立；
設(shè)M（x，y），由（1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)可得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
又∵點(diǎn)M（x，y）在橢圓C上，則代入①式，得
+3=3b²，整理可得
λ²（+3）+μ²（+3）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²…⑤；
由②和④得x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-b）（x₂-b）
=4x₁x₂-3b（x₁+x₂）+6b²
=3b²-9b²+6b²=0；
又∵A，B兩點(diǎn)在橢圓上，∴+3=3b²，+3=3b²，
代入⑤并化簡(jiǎn)，得λ²+μ²=1；
由λ²+μ²=1可得|λ|≤1，|μ|≤1，又λ是唯一確定的實(shí)數(shù)，并且|λ|≤1，
∴存在角θ，使得λ=cosθ成立，則有μ²=1-λ²=sin²θ，∴μ=±sinθ；
若μ=sinθ，則存在θ（θ∈R）使得等式=cosθ?+sinθ?成立；
若μ=-sinθ，由于-sinθ=sin（-θ），cosθ=cos（-θ）于是用θ代換-θ，
同樣可證得存在θ（θ∈R）使得等式=cosθ?+sinθ?成立；
綜上所述，對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)M，總存在θ（θ∈R）使得等式=cosθ?+sinθ?成立．