已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為32，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，上頂點(diǎn)為B（0，b），△A1A2B的面積等于2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q（1，0），P（4，m），直線PA1，PA2分別交橢圓C于點(diǎn)M，N，證明：M，Q，N三點(diǎn)共線．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
2
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（I）+y2=1．
（II）A1（-2，0），A2（2，0），故直線A1P的方程為y=（x+2），
代入橢圓方程可得：（m2+9）x2+4m2x+4m2-36=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
由-2+x1=可得x1=，代入直線A1P方程可得y1=，
同理可得x2=，y2=，
∴=（，），=（，），
∵?=?，
∴∥，
∴M，N，Q三點(diǎn)共線．
x
2
4
（II）A1（-2，0），A2（2，0），故直線A1P的方程為y=
m
6
代入橢圓方程可得：（m2+9）x2+4m2x+4m2-36=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
由-2+x1=
-
4
m
2
m
2
+
9
18
-
2
m
2
m
2
+
9
6
m
m
2
+
9
同理可得x2=
2
m
2
-
2
m
2
+
1
-
2
m
m
2
+
1
∴
QM
9
-
3
m
2
m
2
+
9
6
m
m
2
+
9
QN
m
2
-
3
m
2
+
1
-
2
m
m
2
+
1
∵
9
-
3
m
2
m
2
+
9
-
2
m
m
2
+
1
m
2
-
3
m
2
+
1
6
m
m
2
+
9
∴
QM
QN
∴M，N，Q三點(diǎn)共線．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/9 8:0:8組卷：48引用：3難度：0.6
相似題
-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4524引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y22．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6