定義：如果兩個二次函數(shù)的圖象的開口大小相同，方向相反且頂點的橫坐標、縱坐標都互為相反數(shù)，則稱其中一個二次函數(shù)為另一個二次函數(shù)的美麗函數(shù)．如y=-（x+3）2+2與y=（x-3）2-2互為美麗函數(shù)．
（1）求y=-2x2+4x-1的美麗函數(shù)的表達式；
（2）若y1=x2+2x+c的圖象的頂點為P，且經(jīng)過它的美麗函數(shù)y2=-（x+h）2+k的圖象的頂點Q．
①求證：這兩個函數(shù)的圖象的交點為P，Q；
②點M是y1=x2+2x+c在P，Q之間的圖象的動點，MN⊥x軸交y2=-（x+h）2+k的圖象于點N，求MN長度的最大值．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=2x2+4x+1；
（2）①見解析，②2．
（2）①見解析，②2．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/9/5 2:0:8組卷：43引用：3難度：0.5
相似題
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1．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C（0，3），DE所在的直線是該拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）連接AD，P是AD上的動點，P′是點P關于DE的對稱點，連接PE，過點P′作P′F∥PE，交x軸于點F，設四邊形PP′FE的面積為y,EF=x,求y與x之間的函數(shù)關系式．發(fā)布：2025/6/16 2:0:1組卷：231引用：2難度：0.3 -
2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于原點O和點A，且其頂點B關于x軸的對稱點坐標為（2，1）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）拋物線的對稱軸上存在定點F，使得拋物線y=ax2+bx+c上的任意一點G到定點F的距離與點G到直線y=-2的距離總相等．
①證明上述結(jié)論并求出點F的坐標；
②過點F的直線l與拋物線y=ax2+bx+c交于M，N兩點．
證明：當直線l繞點F旋轉(zhuǎn)時，+1MF是定值，并求出該定值；1NF
（3）點C（3，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標．
發(fā)布：2025/6/16 5:0:1組卷：2172引用：5難度：0.4 -
3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A（-5，0），B（-4，-3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連接BD，CD．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）若點P為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/6/16 5:30:3組卷：1379引用：2難度：0.1