已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，點（1，32）在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點F作互相垂直的兩條直線l1，l2，其中直線l1交橢圓于P，Q兩點，直線l2交直線x=4于M點，求證：直線OM平分線段PQ．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
1
2
（
1
，
3
2
）
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：當(dāng)直線l1的斜率不存在時，直線OM平分線段PQ成立，
當(dāng)直線l1的斜率存在時，設(shè)直線l1方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程得
，消去y得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
因為l1過焦點，所以Δ＞0恒成立，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則，，
則，
所以PQ的中點坐標(biāo)為，
直線l2方程為，M（4，yM），可得，
所以直線OM方程為，
則滿足直線OM方程，即OM平分線段PQ，
綜上所述，直線OM平分線段PQ．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）證明：當(dāng)直線l1的斜率不存在時，直線OM平分線段PQ成立，
當(dāng)直線l1的斜率存在時，設(shè)直線l1方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程得
y = k （ x - 1 ） |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
因為l1過焦點，所以Δ＞0恒成立，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則
x
1
+
x
2
=
8
k
2
4
k
2
+
3
x
1
x
2
=
4
k
2
-
12
4
k
2
+
3
則
y
1
+
y
2
=
k
（
x
1
-
1
）
+
k
（
x
2
-
1
）
=
k
（
x
1
+
x
2
-
2
）
=
-
6
k
4
k
2
+
3
所以PQ的中點坐標(biāo)為
（
4
k
2
4
k
2
+
3
，-
3
k
4
k
2
+
3
）
直線l2方程為
y
=
-
1
k
（
x
-
1
）
M
（
4
，-
3
k
）
所以直線OM方程為
y
=
-
3
4
k
x
則
（
4
k
2
4
k
2
+
3
，-
3
k
4
k
2
+
3
）
綜上所述，直線OM平分線段PQ．
【解答】
【點評】
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