本學(xué)期，我們利用“構(gòu)造軸對稱圖形——等邊三角形”證明了定理：定理在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
證明過程如下：
| 已知：如圖1-10（1），△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°．求證：BC= 1 2  證明：如圖1-10（2），延長BC至點(diǎn)D，使CD=BC，連接AD． ∵∠ACB=90°，∠BAC=30°． ∴∠ACD=90°，∠B=60°． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． ∴AB=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）． ∴△ABD是等邊三角形（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三 角形）． ∴BC= 1 2 1 2 |
（1）如圖1-10（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=4，則BC=
2
2
；【類比證明】
（2）如圖1，請類比以上證明過程，證明：在Rt△ABC中，若∠C=90°，AB=2BC，則∠A=30°；
【遷移創(chuàng)新】
構(gòu)造具有特殊性質(zhì)的軸對稱圖形（如等邊三角形），從而利用軸對稱圖形的性質(zhì)證明結(jié)論是幾何問題的數(shù)學(xué)證明中常見的思路．請你嘗試解決以下問題．
（3）如圖2，等邊△ABC中，延長BA，BC，使AD=BE，連接DC，DE．求證：DC=DE．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】2
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2025/5/30 11:0:1組卷：624引用：4難度：0.5
相似題
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1．如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，連接BE、CE．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，原題設(shè)其它條件不變．求證：∠CAD=∠CBF．
（3）在（2）的條件下，若∠BAC=45°，判斷△CFE的形狀，并說明理由．
發(fā)布：2025/6/3 10:30:2組卷：365引用：4難度：0.3 -
2．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠APB=45°，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CQ，連接AQ．
（1）依題意，補(bǔ)全圖形，并證明：AQ=BP；
（2）求∠QAP的度數(shù)；
（3）若N為線段AB的中點(diǎn)，連接NP，請用等式表示線段NP與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．發(fā)布：2025/6/3 11:0:2組卷：485引用：6難度：0.1 -
3．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tanA=
，D是斜邊AB上一點(diǎn)，連接CD．34
（1）當(dāng)D是AB的中點(diǎn)時．
①如圖①，求CD的長；
②如圖②，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，求DE的長；
③如圖③，過點(diǎn)A作CD的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)M，求sin∠DAM的值；
（2）將△ACD沿直線CD翻折，使得點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)A′處，當(dāng)A′D∥BC時，求AD的長．
發(fā)布：2025/6/3 11:30:1組卷：55引用：2難度：0.4