當前位置： 2023年北京大學附中高考數(shù)學三模試卷> 試題詳情

已知A為有限個實數(shù)構成的非空集合，設A+A={a_i+a_j|a_i，a_j∈A}，A-A={a_i-a_j|a_i，a_j∈A}，記集合A+A和A-A其元素個數(shù)分別為|A+A|，|A-A|．
設n（A）=|A+A|-|A-A|．例如當A={1，2}時，A+A={2，3，4}，A-A={-1，0，1}，|A+A|=|A-A|，所以n（A）=0．
（1）若A={1，3，5}，求n（A）的值；
（2）設A是由3個正實數(shù)組成的集合且（A+A）∩A=?，A′=A∪{0}，證明：n（A′）-n（A）為定值；
（3）若{a_n}是一個各項互不相同的無窮遞增正整數(shù)數(shù)列，對任意n∈N^，設A_n={a₁，a₂，…，a_n}，b_n=n（A_n）．已知a₁=1，a₂=2，且對任意n∈N^，b_n≥0，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

【考點】數(shù)列的應用．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/5/28 8:0:9組卷：171引用：4難度：0.3

相似題

1．n個有次序的實數(shù)a₁，a₂，…，a_n所組成的有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_n）稱為一個n維向量，其中a_i（i=1，2，…，n）稱為該向量的第i個分量．特別地，對一個n維向量
a
=
（
a
1
，
a
2
，…，
a
n
）
，若|a_i|=1，i=1，2…n,稱
a
為n維信號向量．設
a
=
（
a
1
，
a
2
，…，
a
n
）
，
b
=
（
b
1
，
b
2
，…，
b
n
）
，
則
a
和
b
的內積定義為
a
?
b
=
n
∑
i
=
1
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
…
+
a
n
b
n
，且
a
⊥
b
?
a
?
b
=0．
（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．
（2）證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．
（3）已知k個兩兩垂直的2024維信號向量x₁，x₂，…，x_k滿足它們的前m個分量都是相同的，求證：
km
＜45．
發(fā)布：2024/10/20 0:0:1組卷：74引用：6難度：0.3
解析
2．已知{a_n}為無窮遞增數(shù)列，且對于給定的正整數(shù)k,總存在i,j.使得a_i≤k,a_j≤k,其中i≤j.令b_k為滿足a_i≤k的所有i中的最大值，c_k為滿足a_j≥k的所有j中的最小值．
（1）若無窮遞增數(shù)列{a_n}的前四項是1，2，3，5，求b₄和c₄的值；
（2）若{a_n}是無窮等比數(shù)列，a₁=1，公比q為大于1的整數(shù)，b₃＜b₄=b₅，c₃=c₄，求q的值；
（3）若{a_n}是無窮等差數(shù)列，a₁=1，公差為
1
m
，其中m為常數(shù)，且m＞1，m∈N^*，求證：b₁，b₂，?，b_k，?和c₁，c₂，?，c_k，?都是等差數(shù)列，并寫出這兩個數(shù)列的通項公式．
發(fā)布：2024/10/20 7:0:2組卷：52引用：2難度：0.2
解析
3．對于數(shù)列{a_n}定義△a_i=a_i+1-a_i為{a_n}的差數(shù)列，△²a_i=△a_i+1-△a_i為{a_n}的累次差數(shù)列．如果{a_n}的差數(shù)列滿足|△a_i|≠|△a_j|，（?i,j∈N^*，i≠j），則稱{a_n}是“絕對差異數(shù)列”；如果{a_n}的累次差數(shù)列滿足|△²a_i|=|△²a_j|，（?i,j∈N^*），則稱{a_n}是“累差不變數(shù)列”．
（1）設數(shù)列A₁：2，4，8，10，14，16；A₂：6，1，5，2，4，3，判斷數(shù)列A₁和數(shù)列A₂是否為“絕對差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，直接寫出你的結論；
（2）若無窮數(shù)列{a_n}既是“絕對差異數(shù)列”又是“累差不變數(shù)列”，且{a_n}的前兩項a₁=0，a₂=a,|△²a_i|=d（d為大于0的常數(shù)），求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）已知數(shù)列B：b₁，b₂ …，b_2n-1，b_2n是“絕對差異數(shù)列”，且{b₁，b₂ …，b_2n}={1，2，?，2n}，證明：b₁-b_2n=n的充要條件是{b₂，b₄ …，b_2n}={1，2，?，n}．
發(fā)布：2024/10/23 1:0:2組卷：110引用：1難度：0.1
解析

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