已知直線（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（7分）
（Ⅱ）已知圓O：x2+y2=1，直線l：mx+ny=1．試證明當點P（m,n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍．（8分）
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）證明：因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以，從而圓心O到直線l：mx+ny=1的距離，所以直線l與圓O恒相交；
又直線l被圓O截得的弦長為=，
由于0≤m2≤25，所以，則，
即直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是．
x
2
25
+
y
2
16
=
1
（Ⅱ）證明：因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以
1
=
m
2
25
+
n
2
16
＜
m
2
+
n
2
d
=
1
m
2
+
n
2
＜
1
=
r
又直線l被圓O截得的弦長為
L
=
2
r
2
-
d
2
=
2
1
-
1
m
2
+
n
2
2
1
-
1
9
25
m
2
+
16
由于0≤m2≤25，所以
16
≤
9
25
m
2
+
16
≤
25
L
∈
[
15
2
，
4
6
5
]
即直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是
L
∈
[
15
2
，
4
6
5
]
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/14 3:0:1組卷：8引用：3難度：0.3
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-
1．點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點坐標分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
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發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7